Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik

Panjang PQ adalah 4√29 cm.

Pembahasan

Untuk menghitung panjang PQ, kita perlu menggunakan konsep jarak dalam ruang dan teorema Pythagoras.

Diketahui:
- Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.
- Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 16 cm.
- Titik Q terletak pada perpanjangan FG sehingga QG = 4 cm.

Kita dapat menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan titik A = (0,0,0).

Karena rusuk kubus adalah 8 cm, maka koordinat titik-titik sudut adalah:
A = (0,0,0)
B = (8,0,0)
C = (8,8,0)
D = (0,8,0)
E = (0,0,8)
F = (8,0,8)
G = (8,8,8)
H = (0,8,8)

Sekarang kita tentukan koordinat titik P dan Q:

Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 16 cm.
Titik B adalah (8,0,0). Karena P pada perpanjangan AB, maka P berada pada garis yang sama dengan sumbu x positif dari A ke B.
Jarak AB adalah 8 cm. P berada di luar segmen AB, searah dengan B dari A.
Koordinat P = Koordinat B + vektor BP.
Karena P pada perpanjangan AB, vektor BP searah dengan vektor AB. Jika kita menganggap B sebagai titik referensi dan P berada di luar B pada arah AB, maka:
Koordinat P = (8 + 16, 0, 0) = (24, 0, 0).

Titik Q terletak pada perpanjangan FG sehingga QG = 4 cm.
Titik F = (8,0,8) dan G = (8,8,8).
Garis FG sejajar dengan sumbu y.
Karena Q pada perpanjangan FG, dan QG = 4 cm, ini berarti Q berada di luar segmen FG, searah dengan G dari F.
Koordinat Q = Koordinat G + vektor GQ.
Karena Q pada perpanjangan FG, vektor GQ searah dengan vektor FG. Jika kita menganggap G sebagai titik referensi dan Q berada di luar G pada arah FG, maka:
Koordinat Q = (8, 8 + 4, 8) = (8, 12, 8).

Sekarang kita hitung jarak PQ menggunakan rumus jarak antara dua titik (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2) dalam ruang 3D:
Jarak = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)

P = (24, 0, 0)
Q = (8, 12, 8)

PQ = sqrt((8 - 24)^2 + (12 - 0)^2 + (8 - 0)^2)
PQ = sqrt((-16)^2 + (12)^2 + (8)^2)
PQ = sqrt(256 + 144 + 64)
PQ = sqrt(464)

Untuk menyederhanakan sqrt(464):
464 = 16 * 29
PQ = sqrt(16 * 29) = 4 * sqrt(29)

Jadi, panjang PQ adalah 4 * sqrt(29) cm.