Carilah nilai stasioner dan jenisnya untuk setiap fungsi

Nilai stasioner adalah √3/3 (maksimum lokal) dan -√3/3 (minimum lokal).

Pembahasan

Untuk mencari nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = sin x / (2 + cos x), kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x) menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan u = sin x, maka u' = cos x.
Misalkan v = 2 + cos x, maka v' = -sin x.

f'(x) = (u'v - uv') / v²
f'(x) = (cos x * (2 + cos x) - sin x * (-sin x)) / (2 + cos x)²
f'(x) = (2 cos x + cos² x + sin² x) / (2 + cos x)²
Karena sin² x + cos² x = 1, maka:
f'(x) = (2 cos x + 1) / (2 + cos x)²

Langkah 2: Cari nilai stasioner dengan menyamakan f'(x) = 0.
(2 cos x + 1) / (2 + cos x)² = 0
2 cos x + 1 = 0
2 cos x = -1
cos x = -1/2

Nilai x yang memenuhi cos x = -1/2 dalam interval [0, 2π) adalah x = 2π/3 dan x = 4π/3.

Untuk x = 2π/3:
f(2π/3) = sin(2π/3) / (2 + cos(2π/3)) = (√3/2) / (2 - 1/2) = (√3/2) / (3/2) = √3/3

Untuk x = 4π/3:
f(4π/3) = sin(4π/3) / (2 + cos(4π/3)) = (-√3/2) / (2 - 1/2) = (-√3/2) / (3/2) = -√3/3

Jadi, nilai stasionernya adalah √3/3 dan -√3/3.

Langkah 3: Cari turunan kedua f''(x) untuk menentukan jenisnya. (Ini bisa menjadi perhitungan yang kompleks).
Cara yang lebih mudah adalah menggunakan uji turunan pertama dengan melihat perubahan tanda f'(x) di sekitar titik stasioner.

Jika kita menguji nilai x sebelum dan sesudah 2π/3 (misalnya π/2 dan π):
f'(π/2) = (2 cos(π/2) + 1) / (2 + cos(π/2))² = (2*0 + 1) / (2 + 0)² = 1/4 (positif)
f'(π) = (2 cos(π) + 1) / (2 + cos(π))² = (2*(-1) + 1) / (2 - 1)² = (-1) / 1² = -1 (negatif)
Karena f'(x) berubah dari positif ke negatif di x = 2π/3, maka f(2π/3) = √3/3 adalah nilai maksimum lokal.

Jika kita menguji nilai x sebelum dan sesudah 4π/3 (misalnya 3π/2 dan 5π/3):
f'(3π/2) = (2 cos(3π/2) + 1) / (2 + cos(3π/2))² = (2*0 + 1) / (2 + 0)² = 1/4 (positif)
f'(5π/3) = (2 cos(5π/3) + 1) / (2 + cos(5π/3))² = (2*(1/2) + 1) / (2 + 1/2)² = (1 + 1) / (5/2)² = 2 / (25/4) = 8/25 (positif)

Ada kesalahan dalam perhitungan di atas atau perlu peninjauan lebih lanjut untuk jenis di 4π/3. Namun, berdasarkan uji f'(π) ke f'(3π/2) terjadi perubahan dari negatif ke positif, maka f(4π/3) = -√3/3 adalah nilai minimum lokal.

Nilai stasioner adalah √3/3 (maksimum lokal) dan -√3/3 (minimum lokal).