Carilah sisa pada setiap pembagian berikut ini.

Sisa pembagiannya adalah -3x + 5.

Pembahasan

Untuk mencari sisa pembagian (x^12 - 3x^7 + 4) oleh (x^2 - 1), kita dapat menggunakan Teorema Sisa. Teorema Sisa menyatakan bahwa jika sebuah polinomial P(x) dibagi oleh (x - a), maka sisanya adalah P(a). Dalam kasus ini, pembaginya adalah (x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1). Kita perlu mencari sisa ketika P(x) dibagi oleh (x - 1) dan (x + 1). 

Ketika dibagi oleh (x - 1), sisanya adalah P(1) = (1)^12 - 3(1)^7 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2. 
Ketika dibagi oleh (x + 1), sisanya adalah P(-1) = (-1)^12 - 3(-1)^7 + 4 = 1 - 3(-1) + 4 = 1 + 3 + 4 = 8.

Karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya akan berderajat paling tinggi 1, yaitu berbentuk (ax + b). 
Maka, kita dapat menuliskan:
P(x) = Q(x)(x^2 - 1) + (ax + b)

Substitusikan x = 1: P(1) = Q(1)(1^2 - 1) + (a(1) + b) => 2 = 0 + a + b => a + b = 2
Substitusikan x = -1: P(-1) = Q(-1)((-1)^2 - 1) + (a(-1) + b) => 8 = 0 - a + b => -a + b = 8

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear:
a + b = 2
-a + b = 8

Menjumlahkan kedua persamaan: (a + b) + (-a + b) = 2 + 8 => 2b = 10 => b = 5.
Substitusikan b = 5 ke persamaan pertama: a + 5 = 2 => a = -3.

Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 5.