Coba perhatikan gambar di samping. B (b1, b2, b3) b O theta

Gunakan aturan kosinus pada segitiga vektor dan kesamaan kuadrat magnitudo vektor dengan perkalian skalar.

Pembahasan

Untuk membuktikan rumus perkalian skalar dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$, yaitu $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$, kita dapat menggunakan aturan kosinus pada segitiga yang dibentuk oleh vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$, dan $\vec{a} - \vec{b}$. Misalkan vektor $\vec{a}$ memiliki komponen $(a_1, a_2, a_3)$ dan vektor $\vec{b}$ memiliki komponen $(b_1, b_2, b_3)$. Vektor $\vec{a} - \vec{b}$ memiliki komponen $(a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$.

Menurut aturan kosinus pada segitiga dengan sisi-sisi $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, dan $|\vec{a} - \vec{b}|$, dengan sudut $\theta$ di antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$, kita punya:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

Kita tahu bahwa perkalian skalar dari dua vektor adalah:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
Dan kuadrat dari magnitudo vektor adalah:
$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$
$|\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (a_1^2 - 2a_1 b_1 + b_1^2) + (a_2^2 - 2a_2 b_2 + b_2^2) + (a_3^2 - 2a_3 b_3 + b_3^2)$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Menyamakan kedua rumus untuk $|\vec{a} - \vec{b}|^2$:
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Menghilangkan $|\vec{a}|^2$ dan $|\vec{b}|^2$ dari kedua sisi:
$-2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Dengan membagi kedua sisi dengan -2, kita mendapatkan:
$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Terbukti.