Nilai a+b+c yang memenuhi kesamaan

-5

Pembahasan

Kesamaan yang diberikan adalah \frac{5x^2+6x+8}{4x-x^3} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+2} - \frac{c}{x-2}.
Pertama, kita perlu menyederhanakan penyebut di sisi kiri: $4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2-x)(2+x) = -x(x-2)(x+2)$.
Maka, kesamaan menjadi: \frac{5x^2+6x+8}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+2} - \frac{c}{x-2}.
Kalikan kedua sisi dengan $-x(x-2)(x+2)$ untuk menghilangkan penyebut:
$-(5x^2+6x+8) = a(-(x-2)(x+2)) + b(-x(x-2)) - c(-x(x+2))$
$-5x^2-6x-8 = a(-(x^2-4)) + b(-x^2+2x) - c(-x^2-2x)$
$-5x^2-6x-8 = -ax^2+4a -bx^2+2bx +cx^2+2cx$
$-5x^2-6x-8 = (-a-b+c)x^2 + (2b+2c)x + 4a$
Sekarang, samakan koefisien dari pangkat x yang sama di kedua sisi:

Koefisien $x^2$: $-5 = -a - b + c$ (Persamaan 1)
Koefisien $x$: $-6 = 2b + 2c$ (Persamaan 2)
Konstanta: $-8 = 4a$ (Persamaan 3)

Dari Persamaan 3, kita bisa langsung menemukan nilai a:
$4a = -8 
 a = -2$

Dari Persamaan 2, kita bisa menyederhanakannya dengan membagi 2:
$2b + 2c = -6 
 b + c = -3$ (Persamaan 4)

Sekarang kita bisa menggunakan Persamaan 1 dan Persamaan 4 untuk mencari nilai b dan c. Substitusikan nilai a ke Persamaan 1:
$-5 = -(-2) - b + c$
$-5 = 2 - b + c$
$-5 - 2 = -b + c$
$-7 = -b + c$ (Persamaan 5)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan dengan dua variabel (b dan c):
Persamaan 4: $b + c = -3$
Persamaan 5: $-b + c = -7$

Tambahkan Persamaan 4 dan Persamaan 5:
$(b + c) + (-b + c) = -3 + (-7)$
$2c = -10$
$c = -5$

Substitusikan nilai c ke Persamaan 4:
$b + (-5) = -3$
$b - 5 = -3$
$b = -3 + 5$
$b = 2$

Jadi, kita mendapatkan nilai $a = -2$, $b = 2$, dan $c = -5$.
Yang ditanyakan adalah nilai $a + b + c$.
$a + b + c = -2 + 2 + (-5) = -5$.

Verifikasi:
Sisi kanan = $\frac{-2}{x} + \frac{2}{x+2} - \frac{-5}{x-2} = \frac{-2(x+2)(x-2) + 2x(x-2) + 5x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}$
$= \frac{-2(x^2-4) + 2x^2-4x + 5x^2+10x}{x(x^2-4)}$
$= \frac{-2x^2+8 + 2x^2-4x + 5x^2+10x}{x(x^2-4)}$
$= \frac{5x^2+6x+8}{x^3-4x}$
Ini sesuai dengan penyebut di sisi kiri jika dikalikan dengan -1. Perhatikan bahwa penyebut asli adalah $4x-x^3 = -(x^3-4x)$.
Jadi, $\frac{5x^2+6x+8}{4x-x^3} = \frac{5x^2+6x+8}{-x(x-2)(x+2)}$.
Dan hasil dekomposisi pecahan parsial kita: $\frac{a}{x} + \frac{b}{x+2} - \frac{c}{x-2}$.
Jika kita mengalikannya dengan $x(x+2)(x-2)$, kita mendapatkan: $a(x+2)(x-2) + bx(x-2) - cx(x+2)$.
$a(x^2-4) + bx^2-2bx - cx^2-2cx$
$(a+b-c)x^2 + (-2b-2c)x - 4a$.
Kita perlu menyamakan ini dengan $5x^2+6x+8$.
$a+b-c = 5$
$-2b-2c = 6 
 b+c = -3$
$-4a = 8 
 a = -2$.

Dari $b+c=-3$ dan $-4a=8 
 a=-2$.
Substitusikan a ke persamaan pertama:
$-2+b-c = 5$
$b-c = 7$

Kita punya:
$b+c = -3$
$b-c = 7$
Tambahkan kedua persamaan:
$2b = 4 
 b = 2$
Substitusikan b ke $b+c = -3$:
$2+c = -3 
 c = -5$.

Jadi nilai $a = -2$, $b = 2$, $c = -5$.
$a+b+c = -2 + 2 + (-5) = -5$.