(cos 6theta-cos 4theta)/(sin 6theta+sin 4theta)=-tan theta

Identitas terbukti benar dengan menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $rac{\cos 6\theta - \cos 4\theta}{\sin 6\theta + \sin 4\theta} = -\tan \theta$, kita akan menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan pada trigonometri. 

Rumus yang relevan adalah:
1. $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$
2. $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

Menerapkan rumus ini pada sisi kiri persamaan:
$
\frac{\cos 6\theta - \cos 4\theta}{\sin 6\theta + \sin 4\theta} = \frac{-2 \sin \frac{6\theta+4\theta}{2} \sin \frac{6\theta-4\theta}{2}}{2 \sin \frac{6\theta+4\theta}{2} \cos \frac{6\theta-4\theta}{2}}
$
$= \frac{-2 \sin 5\theta \sin \theta}{2 \sin 5\theta \cos \theta}$

Kita dapat membatalkan $2 \sin 5\theta$ dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi $\sin 5\theta \neq 0$):
$= \frac{-\sin \theta}{\cos \theta}$

Karena $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$, maka hasilnya adalah:
$= -\tan \theta$

Jadi, identitas $\frac{\cos 6\theta - \cos 4\theta}{\sin 6\theta + \sin 4\theta} = -\tan \theta$ terbukti benar.