(cos x+sin x)^2/(cos x-sin x)^2=...

(cos x + sin x)^2 / (cos x - sin x)^2 = tan^2(π/4 + x)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi (cos x + sin x)^2 / (cos x - sin x)^2, kita dapat menguraikan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu.

Pembilang: (cos x + sin x)^2 = cos^2 x + 2 cos x sin x + sin^2 x. Menggunakan identitas trigonometri dasar, cos^2 x + sin^2 x = 1, maka pembilangnya menjadi 1 + 2 cos x sin x. Menggunakan identitas sudut ganda, 2 sin x cos x = sin(2x), sehingga pembilangnya adalah 1 + sin(2x).

Penyebut: (cos x - sin x)^2 = cos^2 x - 2 cos x sin x + sin^2 x. Menggunakan identitas cos^2 x + sin^2 x = 1, maka penyebutnya menjadi 1 - 2 cos x sin x. Menggunakan identitas sin(2x) = 2 sin x cos x, sehingga penyebutnya adalah 1 - sin(2x).

Jadi, ekspresi tersebut menjadi (1 + sin(2x)) / (1 - sin(2x)).

Alternatif lain, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan cos^2 x:

Pembilang: (cos x + sin x)^2 = cos^2 x (1 + tan x)^2
Penyebut: (cos x - sin x)^2 = cos^2 x (1 - tan x)^2

Maka, (cos x + sin x)^2 / (cos x - sin x)^2 = cos^2 x (1 + tan x)^2 / (cos^2 x (1 - tan x)^2) = (1 + tan x)^2 / (1 - tan x)^2.

Kita juga bisa menggunakan identitas tan(A+B) dan tan(A-B).
Namun, bentuk yang paling sederhana seringkali dicari dalam bentuk yang melibatkan tan(2x) atau bentuk kuadrat dari tan(x).

Mari kita kembali ke (1 + sin(2x)) / (1 - sin(2x)).
Kita tahu bahwa sin(2x) = 2 tan(x) / (1 + tan^2(x)).
Jadi, 1 + sin(2x) = 1 + 2 tan(x) / (1 + tan^2(x)) = (1 + tan^2(x) + 2 tan(x)) / (1 + tan^2(x)) = (1 + tan x)^2 / (1 + tan^2(x)).
Dan, 1 - sin(2x) = 1 - 2 tan(x) / (1 + tan^2(x)) = (1 + tan^2(x) - 2 tan(x)) / (1 + tan^2(x)) = (1 - tan x)^2 / (1 + tan^2(x)).

Maka, (1 + sin(2x)) / (1 - sin(2x)) = [(1 + tan x)^2 / (1 + tan^2(x))] / [(1 - tan x)^2 / (1 + tan^2(x))] = (1 + tan x)^2 / (1 - tan x)^2.

Ini bisa ditulis ulang sebagai [(1 + tan x) / (1 - tan x)]^2.
Menggunakan identitas tan(45° + x) = (tan 45° + tan x) / (1 - tan 45° tan x) = (1 + tan x) / (1 - tan x), maka ekspresi tersebut adalah tan^2(45° + x) atau tan^2(π/4 + x).

Jadi, (cos x + sin x)^2 / (cos x - sin x)^2 = tan^2(π/4 + x).