Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y<-x^2-2x+4

Daerah di bawah parabola y = -x^2 - 2x + 4 dan di atas parabola y = x^2 - 4x, di antara titik potong (-1, 5) dan (2, -4).

Pembahasan

Untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y < -x^2 - 2x + 4 dan y >= x^2 - 4x, kita perlu menganalisis kedua pertidaksamaan tersebut. 

Pertidaksamaan 1: y < -x^2 - 2x + 4
Ini adalah parabola yang terbuka ke bawah. Untuk menemukan titik potong sumbu x, kita atur y=0: -x^2 - 2x + 4 = 0 atau x^2 + 2x - 4 = 0. Menggunakan rumus kuadrat, x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a, kita dapatkan x = [-2 ± sqrt(2^2 - 4*1*(-4))] / 2*1 = [-2 ± sqrt(4 + 16)] / 2 = [-2 ± sqrt(20)] / 2 = -1 ± sqrt(5). Jadi, titik potongnya adalah (-1 - sqrt(5), 0) dan (-1 + sqrt(5), 0).
Titik puncak: x = -b / 2a = -(-2) / 2*1 = 1. y = -(1)^2 - 2(1) + 4 = -1 - 2 + 4 = 1. Jadi, titik puncaknya adalah (1, 1).
Karena pertidaksamaannya adalah y < -x^2 - 2x + 4, daerah penyelesaiannya adalah area di bawah parabola ini.

Pertidaksamaan 2: y >= x^2 - 4x
Ini adalah parabola yang terbuka ke atas. Untuk menemukan titik potong sumbu x, kita atur y=0: x^2 - 4x = 0 atau x(x - 4) = 0. Jadi, titik potongnya adalah (0, 0) dan (4, 0).
Titik puncak: x = -b / 2a = -(-4) / 2*1 = 2. y = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4. Jadi, titik puncaknya adalah (2, -4).
Karena pertidaksamaannya adalah y >= x^2 - 4x, daerah penyelesaiannya adalah area di atas parabola ini.

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ini adalah area di mana kedua kondisi terpenuhi, yaitu area di bawah parabola y = -x^2 - 2x + 4 DAN di atas parabola y = x^2 - 4x. Untuk menemukan batas-batas daerah ini, kita perlu mencari titik potong antara kedua parabola tersebut dengan menyamakan kedua persamaan: -x^2 - 2x + 4 = x^2 - 4x. Maka, 2x^2 - 2x - 4 = 0 atau x^2 - x - 2 = 0. Faktorkan menjadi (x - 2)(x + 1) = 0, sehingga x = 2 atau x = -1. 
Jika x = 2, maka y = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4. Titik potong (2, -4).
Jika x = -1, maka y = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5. Titik potong (-1, 5).

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah area yang dibatasi oleh kedua parabola tersebut, di mana y lebih kecil dari parabola pertama dan lebih besar dari atau sama dengan parabola kedua, di antara titik potong (-1, 5) dan (2, -4).