Daerah x yang memenuhi penyelesaian sistem pertidaksamaan

Nilai p adalah -14.

Pembahasan

Kita diberikan dua pertidaksamaan: 
1) y >= x^2 + 3x - 8
2) 4x + y <= p

Dan daerah x yang memenuhi penyelesaian sistem pertidaksamaan ini adalah -6 <= x <= -1.

Dari pertidaksamaan (2), kita bisa nyatakan y <= p - 4x. Karena kita ingin daerah solusi ada, maka untuk setiap x dalam rentang yang diberikan, harus ada nilai y yang memenuhi kedua pertidaksamaan. Ini berarti batas atas dari y dari pertidaksamaan (2) harus lebih besar atau sama dengan batas bawah dari y dari pertidaksamaan (1) untuk nilai x dalam rentang tersebut.

p - 4x >= x^2 + 3x - 8
p >= x^2 + 7x - 8

Karena daerah x yang memenuhi adalah -6 <= x <= -1, kita perlu mencari nilai p yang memastikan ketidaksetaraan ini berlaku untuk seluruh rentang x tersebut. Nilai p harus cukup besar sehingga sisi kanan ketidaksetaraan (x^2 + 7x - 8) selalu kurang dari atau sama dengan p dalam rentang x yang diberikan.

Kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi f(x) = x^2 + 7x - 8 pada interval [-6, -1]. Fungsi ini adalah parabola yang terbuka ke atas. Puncaknya berada di x = -b/(2a) = -7/(2*1) = -3.5. Karena -3.5 berada dalam interval [-6, -1], nilai maksimum akan terjadi di salah satu ujung interval atau di puncak jika puncaknya berada di dalam interval.

Mari kita evaluasi f(x) di titik-titik kritis:
Di x = -6: f(-6) = (-6)^2 + 7(-6) - 8 = 36 - 42 - 8 = -14
Di x = -1: f(-1) = (-1)^2 + 7(-1) - 8 = 1 - 7 - 8 = -14
Di x = -3.5: f(-3.5) = (-3.5)^2 + 7(-3.5) - 8 = 12.25 - 24.5 - 8 = -20.25

Nilai maksimum dari f(x) = x^2 + 7x - 8 pada interval [-6, -1] adalah -14.

Agar p >= x^2 + 7x - 8 berlaku untuk semua x dalam [-6, -1], maka p harus lebih besar atau sama dengan nilai maksimum dari x^2 + 7x - 8 pada interval tersebut.
Jadi, p >= -14.

Namun, kita harus mempertimbangkan kembali bagaimana sistem pertidaksamaan bekerja. Daerah x yang memenuhi penyelesaian berarti ada nilai y yang memenuhi kedua pertidaksamaan untuk setiap x dalam rentang tersebut.

Untuk setiap x dalam [-6, -1], kita perlu memiliki: x^2 + 3x - 8 <= y <= p - 4x.
Ini menyiratkan bahwa x^2 + 3x - 8 <= p - 4x.
Yang kita dapatkan sebelumnya: p >= x^2 + 7x - 8.

Sekarang, mari kita lihat lagi dari perspektif batas. Agar ada solusi untuk y, batas atas harus lebih besar atau sama dengan batas bawah.
Jadi, p - 4x >= x^2 + 3x - 8.

Jika kita ingin daerah x yang memenuhi adalah *tepat* -6 <= x <= -1, ini berarti bahwa pada x = -6 dan x = -1, batas atas dan batas bawah harus bertemu, dan di luar rentang ini, batas atas harus lebih kecil dari batas bawah.

Mari kita cek ketika batas atas dan batas bawah bertemu:
p - 4x = x^2 + 3x - 8
p = x^2 + 7x - 8

Kita tahu bahwa nilai maksimum dari x^2 + 7x - 8 pada interval [-6, -1] adalah -14 (terjadi di x = -6 dan x = -1). Agar solusi ada di seluruh interval ini, p harus setidaknya sama dengan nilai maksimum ini.
Jadi, p >= -14.

Untuk memastikan bahwa daerah yang memenuhi *hanya* -6 <= x <= -1, kita perlu memastikan bahwa ketika x bergerak keluar dari interval ini, tidak ada lagi solusi. Ini berarti bahwa di luar interval [-6, -1], kita harus memiliki p - 4x < x^2 + 3x - 8.

Jika kita menetapkan p = -14, maka:
-14 - 4x >= x^2 + 3x - 8
0 >= x^2 + 7x - 8 + 14
0 >= x^2 + 7x + 6

Mari kita faktorkan x^2 + 7x + 6:
(x+1)(x+6) >= 0

Ketidaksetaraan ini benar ketika x <= -6 atau x >= -1.
Ini berarti bahwa jika p = -14, daerah x yang memenuhi adalah x <= -6 atau x >= -1. Ini berlawanan dengan apa yang diberikan dalam soal (-6 <= x <= -1).

Kita perlu membalik ketidaksetaraan: p <= x^2 + 7x - 8.
Agar ini berlaku untuk seluruh rentang [-6, -1], p harus lebih kecil atau sama dengan nilai minimum dari x^2 + 7x - 8 pada interval tersebut.

Nilai minimum dari x^2 + 7x - 8 pada interval [-6, -1] terjadi di puncak parabola, yaitu di x = -3.5, dan nilainya adalah -20.25.
Jadi, p <= -20.25.

Mari kita uji jika p = -20.25:
-20.25 - 4x >= x^2 + 3x - 8
0 >= x^2 + 7x - 8 + 20.25
0 >= x^2 + 7x + 12.25

Mari kita faktorkan x^2 + 7x + 12.25:
Ini adalah kuadrat sempurna: (x + 3.5)^2.
Jadi, 0 >= (x + 3.5)^2.

Satu-satunya cara agar kuadrat suatu bilangan real lebih besar dari atau sama dengan nol adalah jika bilangan tersebut nol. Jadi, satu-satunya solusi adalah x + 3.5 = 0, yaitu x = -3.5.

Ini juga tidak sesuai dengan rentang yang diberikan (-6 <= x <= -1).

Mari kita tinjau kembali hubungan antara kedua pertidaksamaan:
y >= x^2 + 3x - 8
y <= p - 4x

Agar ada solusi y, maka harus berlaku x^2 + 3x - 8 <= p - 4x.
Ini menyederhanakan menjadi p >= x^2 + 7x - 8.

Kita diberi tahu bahwa daerah x yang memenuhi penyelesaian sistem pertidaksamaan ini adalah -6 <= x <= -1. Ini berarti bahwa untuk setiap x dalam interval ini, harus ada y yang memenuhi kedua pertidaksamaan, dan di luar interval ini, tidak ada y yang memenuhi.

Ini berarti bahwa pada batas-batas interval, yaitu x = -6 dan x = -1, kita harus memiliki x^2 + 3x - 8 = p - 4x. Jika tidak, jika salah satu batas tidak terpenuhi, maka rentang x akan berbeda.

Jadi, kita setel x^2 + 7x - 8 = p pada x = -6 dan x = -1.
Untuk x = -6: p = (-6)^2 + 7(-6) - 8 = 36 - 42 - 8 = -14.
Untuk x = -1: p = (-1)^2 + 7(-1) - 8 = 1 - 7 - 8 = -14.

Jadi, p = -14.

Mari kita periksa apakah dengan p = -14, rentang x yang memenuhi adalah tepat -6 <= x <= -1.
Jika p = -14, sistemnya menjadi:
y >= x^2 + 3x - 8
y <= -14 - 4x

Agar ada solusi y, kita perlu: x^2 + 3x - 8 <= -14 - 4x
x^2 + 7x + 6 <= 0
(x + 1)(x + 6) <= 0

Ketidaksetaraan ini berlaku ketika -6 <= x <= -1.
Ini cocok dengan informasi yang diberikan dalam soal.
Oleh karena itu, nilai p yang haruslah -14.