Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan

0

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum dari f(x, y) = 3x + 2y pada daerah yang diarsir (yang merupakan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear), kita perlu mengidentifikasi titik-titik sudut (vertex) dari daerah tersebut. Nilai minimum atau maksimum dari fungsi linear pada suatu daerah poligon tertutup akan terjadi pada salah satu titik sudutnya.

Dari gambar yang diberikan:
- Sumbu y memiliki titik (0, 20) dan (0, 15).
- Sumbu x memiliki titik (12, 0) dan (18, 0).

Kita perlu mencari koordinat titik-titik sudut daerah yang diarsir. Berdasarkan skala yang terlihat, titik-titik sudutnya adalah:
1. (0, 15)
2. (0, 20)
3. Titik potong antara garis yang melalui (0, 20) dan (18, 0) dengan garis yang melalui (0, 15) dan (12, 0).
4. Titik potong antara garis yang melalui (0, 15) dan (12, 0) dengan sumbu x, yaitu (12, 0).
5. Titik potong antara garis yang melalui (0, 20) dan (18, 0) dengan sumbu x, yaitu (18, 0).

Persamaan garis yang melalui (0, 15) dan (12, 0) adalah (y - 0) / (15 - 0) = (x - 12) / (0 - 12) => y / 15 = (x - 12) / -12 => -12y = 15x - 180 => 15x + 12y = 180 => 5x + 4y = 60.

Persamaan garis yang melalui (0, 20) dan (18, 0) adalah (y - 0) / (20 - 0) = (x - 18) / (0 - 18) => y / 20 = (x - 18) / -18 => -18y = 20x - 360 => 20x + 18y = 360 => 10x + 9y = 180.

Mari kita cari titik potong antara 5x + 4y = 60 dan 10x + 9y = 180.
Kalikan persamaan pertama dengan 2: 10x + 8y = 120.
Kurangkan dari persamaan kedua: (10x + 9y) - (10x + 8y) = 180 - 120 => y = 60.
Substitusikan y = 60 ke 5x + 4y = 60: 5x + 4(60) = 60 => 5x + 240 = 60 => 5x = -180 => x = -36. Titik ini tidak relevan karena x harus positif.

Perlu diklarifikasi bahwa gambar tersebut mungkin mewakili daerah di kuadran pertama. Mari kita asumsikan titik-titik sudut yang relevan adalah:
1. (0, 15)
2. (12, 0)
3. Titik potong antara garis yang melalui (0, 20) dan (18, 0) dengan sumbu y: (0, 20).
4. Titik potong antara garis yang melalui (0, 20) dan (18, 0) dengan sumbu x: (18, 0).
5. Titik potong antara garis 5x + 4y = 60 dan 10x + 9y = 180. Ternyata perhitungan sebelumnya salah karena asumsi titik potong. Perhatikan bahwa salah satu garis mungkin memotong sumbu y di 20 dan sumbu x di 18, sedangkan yang lain memotong sumbu y di 15 dan sumbu x di 12.

Asumsikan titik sudutnya adalah:
1. (0, 15)
2. (12, 0)
3. Titik potong antara garis 5x + 4y = 60 dan garis yang melalui (0, 20) dan (18, 0) yang merupakan 10x + 9y = 180. Jika daerah yang diarsir adalah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan kedua garis tersebut.

Mari kita periksa titik potongnya lagi dengan benar:
Persamaan 1: melalui (0,15) dan (12,0). $\frac{x}{12} + \frac{y}{15} = 1 \implies 5x + 4y = 60$
Persamaan 2: melalui (0,20) dan (18,0). $\frac{x}{18} + \frac{y}{20} = 1 \implies 10x + 9y = 180$

Titik potong kedua garis:
Dari persamaan 1, $x = \frac{60 - 4y}{5}$.
Substitusikan ke persamaan 2:
$10(\frac{60 - 4y}{5}) + 9y = 180$
$2(60 - 4y) + 9y = 180$
$120 - 8y + 9y = 180$
$120 + y = 180 
 y = 60$

Substitusikan y = 60 ke $5x + 4y = 60$
$5x + 4(60) = 60$
$5x + 240 = 60$
$5x = -180 
 x = -36$

Ini menunjukkan bahwa kedua garis berpotongan di luar kuadran pertama. Kemungkinan besar, daerah yang diarsir dibatasi oleh bagian-bagian dari garis-garis ini dengan sumbu koordinat.

Asumsikan titik-titik sudut yang benar adalah:
1. (0, 15)
2. (12, 0)
3. Titik potong antara 10x + 9y = 180 dengan sumbu x: (18, 0)
4. Titik potong antara 10x + 9y = 180 dengan sumbu y: (0, 20)

Jika daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh $y \leq 20$, $x \leq 18$, $5x + 4y \leq 60$, $10x + 9y \geq 180$, $x \geq 0$, $y \geq 0$. Ini tidak konsisten.

Mari kita asumsikan gambar tersebut menunjukkan daerah yang dibatasi oleh:
1. Sumbu y dan garis $5x + 4y = 60$, yaitu titik (0, 15) dan (12, 0).
2. Sumbu y dan garis $10x + 9y = 180$, yaitu titik (0, 20) dan (18, 0).

Dan daerah yang diarsir adalah daerah di bawah kedua garis tersebut di kuadran pertama. Maka titik sudutnya adalah:
1. (0, 0)
2. (12, 0)
3. Titik potong kedua garis (jika ada di kuadran pertama).
4. (0, 15)

Namun, berdasarkan format soal yang meminta nilai minimum, biasanya daerahnya adalah poligon yang dibatasi oleh beberapa pertidaksamaan.

Mari kita buat asumsi yang paling masuk akal dari gambar tersebut: daerah yang diarsir adalah poligon dengan titik-titik sudut pada:
1. (0, 15) (perpotongan garis 1 dengan sumbu y)
2. (12, 0) (perpotongan garis 1 dengan sumbu x)
3. (18, 0) (perpotongan garis 2 dengan sumbu x)
4. (0, 20) (perpotongan garis 2 dengan sumbu y)

Dan daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh kedua garis ini dan sumbu koordinat.

Jika daerah yang diarsir adalah daerah yang memenuhi $5x + 4y \leq 60$ dan $10x + 9y \leq 180$ di kuadran pertama, maka titik sudutnya adalah (0,0), (12,0), titik potong kedua garis, dan (0,15).
Kita perlu menghitung titik potong kedua garis tersebut. Kita sudah hitung x = -36, y = 60, yang tidak di kuadran pertama.

Kemungkinan lain, daerah yang diarsir adalah segitiga atau segiempat yang terbentuk oleh potongan garis-garis tersebut.

Misalkan daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh:
- $5x + 4y \leq 60$
- $10x + 9y \geq 180$ (ini akan membuat daerah di atas garis kedua)
- $x \geq 0$, $y \geq 0$

Ini juga tidak masuk akal.

Mari kita asumsikan titik sudut yang relevan adalah titik-titik pada sumbu dan titik potong yang mungkin.

Titik sudut yang mungkin berdasarkan gambar adalah:
1. (0, 15)
2. (12, 0)
3. Titik potong dari garis y=20 dengan sumbu x (tidak relevan jika garisnya tidak sampai 20)
4. Titik potong dari garis x=18 dengan sumbu y (tidak relevan jika garisnya tidak sampai 18)
5. Titik potong dari kedua garis.

Jika kita melihat skala, garis yang memotong sumbu y di 15 dan sumbu x di 12 adalah $5x+4y=60$. Garis yang memotong sumbu y di 20 dan sumbu x di 18 adalah $10x+9y=180$.

Jika daerah yang diarsir adalah daerah di bawah kedua garis tersebut, maka titik sudutnya adalah (0,0), (12,0), dan (0,15). Titik (18,0) dan (0,20) tidak akan menjadi batas jika daerahnya di bawah kedua garis.

Mari kita evaluasi f(x, y) = 3x + 2y pada titik-titik yang mungkin:
- Jika titik sudutnya (0, 15): f(0, 15) = 3(0) + 2(15) = 30
- Jika titik sudutnya (12, 0): f(12, 0) = 3(12) + 2(0) = 36
- Jika ada titik potong di kuadran pertama, kita perlu menemukannya.

Perhatikan bahwa gambar menunjukkan daerah yang dibatasi oleh sumbu y, sumbu x, dan dua garis yang berbeda. Salah satu garis melewati (0,15) dan (12,0). Garis lainnya melewati (0,20) dan (18,0). Daerah yang diarsir biasanya adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Jika pertidaksamaannya adalah $5x+4y \leq 60$ dan $10x+9y \leq 180$, maka daerah yang relevan dibatasi oleh (0,0), (12,0), titik potong (jika ada di kuadran 1), dan (0,15).

Karena kita tidak menemukan titik potong yang valid di kuadran pertama untuk kedua garis tersebut (satu garis berada di bawah garis lainnya untuk sebagian besar kuadran pertama), mari kita asumsikan daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh:
- Garis $5x+4y=60$
- Sumbu x (dari 0 sampai 12)
- Sumbu y (dari 0 sampai 15)

Dalam hal ini, titik sudutnya adalah (0,0), (12,0), dan (0,15).
Nilai f(x, y) = 3x + 2y:
- f(0, 0) = 3(0) + 2(0) = 0
- f(12, 0) = 3(12) + 2(0) = 36
- f(0, 15) = 3(0) + 2(15) = 30

Nilai minimumnya adalah 0.

Namun, soal menyajikan skala hingga 20 di sumbu y dan 18 di sumbu x, menyiratkan bahwa kedua garis tersebut relevan. Kemungkinan daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu y, sumbu x, dan garis $5x+4y=60$ dan $10x+9y=180$, di mana daerah tersebut adalah gabungan atau irisan dari daerah di bawah kedua garis tersebut.

Jika daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh $y \\le 15$ (dari garis pertama), $x \\le 12$ (dari garis pertama), $y \\le 20$ (dari garis kedua), $x \\le 18$ (dari garis kedua). Dan keduanya harus dipenuhi.

Jika daerah yang diarsir adalah daerah di bawah garis $5x+4y=60$ dan juga di bawah garis $10x+9y=180$ (di kuadran pertama), maka daerahnya dibatasi oleh (0,0), (12,0), dan (0,15). Karena garis $10x+9y=180$ berada di atas garis $5x+4y=60$ untuk x antara 0 dan 12.

Mari kita uji titik (12,0) pada kedua garis:
$5(12) + 4(0) = 60 
 10(12) + 9(0) = 120 
 120 \leq 180$. Titik (12,0) memenuhi kedua pertidaksamaan.

Mari kita uji titik (0,15) pada kedua garis:
$5(0) + 4(15) = 60 
 10(0) + 9(15) = 135 
 135 \leq 180$. Titik (0,15) memenuhi kedua pertidaksamaan.

Jika daerah yang diarsir adalah daerah yang memenuhi $5x+4y 
 \leq 60$ dan $x 
 \geq 0$, $y 
 \geq 0$, maka titik sudutnya adalah (0,0), (12,0), (0,15). Nilai minimum f(x,y)=3x+2y adalah 0.

Jika daerah yang diarsir adalah daerah yang memenuhi $10x+9y 
 \leq 180$ dan $x 
 \geq 0$, $y 
 \geq 0$, maka titik sudutnya adalah (0,0), (18,0), (0,20). Nilai f(x,y)=3x+2y:
- f(0,0) = 0
- f(18,0) = 3(18)+2(0) = 54
- f(0,20) = 3(0)+2(20) = 40

Nilai minimumnya adalah 0.

Karena soal meminta nilai minimum dan menyajikan dua garis, ada kemungkinan daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh kedua garis tersebut dan sumbu koordinat.

Jika daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh $5x+4y \le 60$ dan $10x+9y \ge 180$ (ini akan berada di atas garis kedua), dan sumbu koordinat, ini tidak mungkin.

Kemungkinan yang paling masuk akal adalah bahwa daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh $5x+4y \le 60$ di kuadran pertama, dan titik-titik sudutnya adalah (0,0), (12,0), dan (0,15). Pada kasus ini, nilai minimum dari f(x, y)=3x+2y adalah 0.

Namun, jika kita harus menggunakan kedua garis tersebut, mari kita cari titik potong yang lebih masuk akal. Mungkin ada kesalahan dalam interpretasi gambar atau data.

Dengan asumsi bahwa daerah yang diarsir adalah daerah yang memenuhi $5x+4y 
 \leq 60$ dan $x 
 \geq 0$, $y 
 \geq 0$, maka nilai minimum dari $f(x, y) = 3x + 2y$ adalah 0, yang terjadi di titik (0,0).

Jika ada informasi tambahan tentang bagaimana kedua garis tersebut membentuk daerah yang diarsir, jawaban bisa berbeda. Namun, berdasarkan informasi yang ada dan umum dari soal program linear, jika titik (0,0) termasuk dalam daerah yang diarsir, maka nilai minimumnya adalah 0.