Tentukan nilai limit berikut ini limit x -> 0 (1-cos

Nilai limitnya adalah 4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{1-\cos x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.
Identitas yang relevan adalah $1 - \cos(2A) = 2 \sin^2(A)$.
Maka, pembilangnya menjadi $1 - \cos(2x) = 2 \sin^2(x)$.
Limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x)}{1-\cos x}$.
Kita juga tahu bahwa $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$.
Jadi, limitnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x)}{2 \sin^2(x/2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x/2)}$.
Menggunakan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$, kita bisa menulis ulang limitnya:
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \times \frac{x}{\sin(x/2)} \right)^2 = \lim_{x \to 0} \left(1 \times \frac{x}{\sin(x/2)} \right)^2$.
Sekarang, perhatikan $\frac{x}{\sin(x/2)}$. Kita bisa mengalikannya dengan $\frac{x/2}{x/2}$:
$\frac{x}{\sin(x/2)} = \frac{x/2}{\sin(x/2)} \times 2$.
Saat $x \to 0$, maka $x/2 \to 0$. Jadi, $\lim_{x/2 \to 0} \frac{x/2}{\sin(x/2)} = 1$.
Sehingga, $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x/2)} = 1 \times 2 = 2$.
Kembali ke limit awal:
$\lim_{x \to 0} \left(1 \times \frac{x}{\sin(x/2)} \right)^2 = (1 \times 2)^2 = 2^2 = 4$.
Alternatif menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya $\frac{0}{0}$:
$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1-\cos 2x)}{\frac{d}{dx}(1-\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x}{\sin x}$.
Ini masih bentuk $\frac{0}{0}$, jadi terapkan lagi aturan L'Hopital:
$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(2\sin 2x)}{\frac{d}{dx}(\sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{4\cos 2x}{\cos x} = \frac{4\cos(0)}{\cos(0)} = \frac{4 \times 1}{1} = 4$.