Daerah yang diwarnai pada gambar berikut merupakan grafik

a. 2x+y<=5, x+y<=4, x>=0, y>=0. b. (0,0), (4,0), (1,3), (0,4). c. 0. d. 0. e. Nilai minimum fungsi objektif bisa berbeda tergantung koefisiennya.

Pembahasan

a. Untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear, kita perlu mengamati gradien dan titik potong sumbu-y dari setiap garis yang membentuk batas daerah penyelesaian.
Misalkan garis 1 memotong sumbu-y di titik (0, 5) dan titik (2.5, 0). Gradiennya adalah m1 = (0-5)/(2.5-0) = -2. Persamaan garisnya adalah y - 0 = -2(x - 2.5) => y = -2x + 5 => 2x + y = 5. Karena daerahnya berada di bawah garis ini, pertidaksamaannya adalah 2x + y <= 5.
Misalkan garis 2 memotong sumbu-x di titik (4, 0) dan sumbu-y di titik (0, 4). Gradiennya adalah m2 = (0-4)/(4-0) = -1. Persamaan garisnya adalah y - 0 = -1(x - 4) => y = -x + 4 => x + y = 4. Karena daerahnya berada di bawah garis ini, pertidaksamaannya adalah x + y <= 4.
Selain itu, karena daerah berada di kuadran pertama, maka x >= 0 dan y >= 0.
Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah: 2x + y <= 5, x + y <= 4, x >= 0, y >= 0.

b. Titik-titik pojok pada daerah himpunan penyelesaian adalah perpotongan dari garis-garis batas:
1. Perpotongan sumbu-y (x=0) dengan garis 2x+y=5: 2(0)+y=5 => y=5. Titik (0, 5).
2. Perpotongan sumbu-x (y=0) dengan garis x+y=4: x+0=4 => x=4. Titik (4, 0).
3. Perpotongan garis 2x+y=5 dan x+y=4: (2x+y) - (x+y) = 5 - 4 => x = 1. Substitusi x=1 ke x+y=4 => 1+y=4 => y=3. Titik (1, 3).
4. Perpotongan sumbu-x (y=0) dengan garis x+y=4: x+0=4 => x=4. Titik (4, 0).
5. Perpotongan sumbu-y (x=0) dengan garis x+y=4: 0+y=4 => y=4. Titik (0, 4).
6. Perpotongan sumbu-y (x=0) dengan garis 2x+y=5: 2(0)+y=5 => y=5. Titik (0, 5).
7. Perpotongan sumbu-x (y=0) dengan garis 2x+y=5: 2x+0=5 => x=2.5. Titik (2.5, 0).
Titik pojok yang relevan dengan daerah yang diarsir adalah (0, 4), (4, 0), dan (1, 3). Terdapat juga titik (0, 5) dan (2.5, 0) yang merupakan batas namun tidak menjadi pojok daerah penyelesaian.
Namun, berdasarkan gambar yang umum untuk soal seperti ini, titik pojok yang dimaksud adalah perpotongan garis-garis pembatas daerah himpunan penyelesaian. Dengan asumsi daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh x>=0, y>=0, 2x+y<=5 dan x+y<=4, maka titik pojoknya adalah: (0,0), (4,0), (1,3), (0,4).

c. Menghitung nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y:
- Di titik (0,0): f(0,0) = 4(0) + 5(0) = 0
- Di titik (4,0): f(4,0) = 4(4) + 5(0) = 16
- Di titik (1,3): f(1,3) = 4(1) + 5(3) = 4 + 15 = 19
- Di titik (0,4): f(0,4) = 4(0) + 5(4) = 20
Nilai minimumnya adalah 0.

d. Menghitung nilai minimum dari f(x,y) = 5x + 4y:
- Di titik (0,0): f(0,0) = 5(0) + 4(0) = 0
- Di titik (4,0): f(4,0) = 5(4) + 4(0) = 20
- Di titik (1,3): f(1,3) = 5(1) + 4(3) = 5 + 12 = 17
- Di titik (0,4): f(0,4) = 5(0) + 4(4) = 16
Nilai minimumnya adalah 0.

e. Kesimpulan:
Nilai minimum dari fungsi objektif dapat berbeda tergantung pada koefisien x dan y. Pada contoh ini, untuk f(x,y)=4x+5y, nilai minimumnya adalah 0 di (0,0). Untuk f(x,y)=5x+4y, nilai minimumnya juga 0 di (0,0). Perubahan koefisien fungsi objektif akan mempengaruhi titik mana yang memberikan nilai maksimum, tetapi nilai minimum pada daerah yang dibatasi oleh sumbu koordinat dan terletak di kuadran pertama akan selalu nol jika titik (0,0) termasuk dalam daerah penyelesaian.