Umar akan memasang lampu hias di teras ruman. Lampu yang

Ada 336.336 cara Umar dapat memasang lampu hias dengan lampu biru di kedua ujung.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi dengan syarat. Umar ingin memasang lampu hias dengan spesifikasi: 6 merah, 5 kuning, 3 hijau, dan 2 biru. Total lampu adalah 6 + 5 + 3 + 2 = 16 lampu. Syaratnya, lampu biru harus diletakkan di ujung. Ada 2 posisi ujung (awal dan akhir). 
Kasus 1: Lampu biru pertama di ujung awal, lampu biru kedua di ujung akhir. 
Cara mengatur 2 lampu biru di ujung: P(2,2) = 2! = 2 cara. 
Sisa lampu yang akan diatur adalah 16 - 2 = 14 lampu (6 merah, 5 kuning, 3 hijau). 
Banyak cara mengatur sisa lampu: 14! / (6! * 5! * 3!).
Total cara = 2 * (14! / (6! * 5! * 3!)).

Kasus 2: Lampu biru pertama di ujung akhir, lampu biru kedua di ujung awal. Ini sama dengan Kasus 1.

Namun, jika yang dimaksud adalah salah satu dari dua ujung harus lampu biru, dan ujung yang lain boleh lampu apa saja, maka perhitungannya berbeda.

Mari kita asumsikan yang dimaksud adalah lampu biru diletakkan di kedua ujung.
Jumlah posisi yang tersedia untuk lampu biru adalah 2 (ujung kiri dan ujung kanan).
Jumlah cara memilih dan menempatkan 2 lampu biru di 2 ujung adalah P(2,2) = 2! = 2 cara.
Sisa lampu yang perlu diatur adalah 16 - 2 = 14 lampu. 
Jumlah cara mengatur 14 lampu sisanya (6 merah, 5 kuning, 3 hijau) adalah permutasi dengan elemen yang sama: 14! / (6! * 5! * 3!).
14! = 87.178.291.200
6! = 720
5! = 120
3! = 6
Jumlah cara mengatur sisa lampu = 87.178.291.200 / (720 * 120 * 6) = 87.178.291.200 / 518.400 = 168.168 cara.

Total banyak cara = 2 (cara menempatkan lampu biru) * 168.168 (cara mengatur sisa lampu) = 336.336 cara.