Daerah yang merupakan penyelesaian sistem pertidaksamaan:

Daerah segitiga dengan titik sudut (2, 0), (4/3, 5/3), dan (8/3, 7/3).

Pembahasan

Untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear, kita perlu menggambar garis dari setiap pertidaksamaan dan menentukan daerah yang memenuhi semua kondisi.

Sistem pertidaksamaannya adalah:
1.  x + y ≤ 5
2.  5x + 2y ≥ 10
3.  x ≥ 2y - 2  (atau x - 2y ≥ -2)
4.  x ≥ 0
5.  y ≥ 0

Mari kita analisis setiap pertidaksamaan:

**1. x + y ≤ 5**
Garis: x + y = 5
Titik potong sumbu x (y=0): x = 5 => (5, 0)
Titik potong sumbu y (x=0): y = 5 => (0, 5)
Uji titik (0,0): 0 + 0 ≤ 5 (Benar). Jadi, daerah penyelesaian berada di bawah atau pada garis x + y = 5.

**2. 5x + 2y ≥ 10**
Garis: 5x + 2y = 10
Titik potong sumbu x (y=0): 5x = 10 => x = 2 => (2, 0)
Titik potong sumbu y (x=0): 2y = 10 => y = 5 => (0, 5)
Uji titik (0,0): 5(0) + 2(0) ≥ 10 => 0 ≥ 10 (Salah). Jadi, daerah penyelesaian berada di atas atau pada garis 5x + 2y = 10.

**3. x ≥ 2y - 2 (atau x - 2y ≥ -2)**
Garis: x - 2y = -2
Titik potong sumbu x (y=0): x = -2 => (-2, 0)
Titik potong sumbu y (x=0): -2y = -2 => y = 1 => (0, 1)
Uji titik (0,0): 0 - 2(0) ≥ -2 => 0 ≥ -2 (Benar). Jadi, daerah penyelesaian berada di sisi garis yang mengandung (0,0) jika kita lihat dari arah x - 2y = -2, atau lebih tepatnya, kita harus menguji titik yang tidak pada garis, misalnya (1,1). Uji (1,1): 1 ≥ 2(1) - 2 => 1 ≥ 0 (Benar). Jadi, daerah penyelesaian berada di sisi garis yang mengandung (1,1).

**4. x ≥ 0 dan y ≥ 0**
Ini membatasi daerah penyelesaian pada kuadran pertama (termasuk sumbu x dan y).

Sekarang kita perlu menemukan daerah yang memenuhi SEMUA kondisi ini:
*   Di bawah atau pada x + y = 5
*   Di atas atau pada 5x + 2y = 10
*   Di sisi garis x - 2y = -2 yang membuat x lebih besar dari 2y - 2.
*   Di kuadran pertama.

Mari kita cari titik-titik potong penting:

*   **Potong x + y = 5 dan 5x + 2y = 10:**
    Dari x + y = 5 => y = 5 - x
    Substitusi ke 5x + 2y = 10:
    5x + 2(5 - x) = 10
    5x + 10 - 2x = 10
    3x = 0 => x = 0
    Jika x = 0, maka y = 5. Titik potong: (0, 5).

*   **Potong x + y = 5 dan x - 2y = -2:**
    Dari x + y = 5 => x = 5 - y
    Substitusi ke x - 2y = -2:
    (5 - y) - 2y = -2
    5 - 3y = -2
    -3y = -7 => y = 7/3
    Jika y = 7/3, maka x = 5 - 7/3 = (15 - 7)/3 = 8/3. Titik potong: (8/3, 7/3).

*   **Potong 5x + 2y = 10 dan x - 2y = -2:**
    Jumlahkan kedua persamaan:
    (5x + 2y) + (x - 2y) = 10 + (-2)
    6x = 8 => x = 8/6 = 4/3
    Substitusi x = 4/3 ke 5x + 2y = 10:
    5(4/3) + 2y = 10
    20/3 + 2y = 10
    2y = 10 - 20/3
    2y = (30 - 20)/3
    2y = 10/3
    y = 5/3
    Titik potong: (4/3, 5/3).

Titik-titik pojok yang mungkin berada dalam daerah penyelesaian adalah:
*   (0, 5) - ini adalah titik potong sumbu y dari x+y=5 dan 5x+2y=10. Cek kendala ke-3: 0 >= 2(5) - 2 => 0 >= 8 (Salah). Jadi (0,5) bukan bagian dari solusi akhir.
*   (2, 0) - ini adalah titik potong sumbu x dari 5x+2y=10. Cek kendala ke-1: 2+0 <= 5 (Benar). Cek kendala ke-3: 2 >= 2(0) - 2 => 2 >= -2 (Benar). Jadi (2,0) adalah titik pojok.
*   (8/3, 7/3) - ini titik potong x+y=5 dan x-2y=-2. Cek kendala ke-2: 5(8/3) + 2(7/3) = 40/3 + 14/3 = 54/3 = 18. 18 >= 10 (Benar). Jadi (8/3, 7/3) adalah titik pojok.
*   (4/3, 5/3) - ini titik potong 5x+2y=10 dan x-2y=-2. Cek kendala ke-1: 4/3 + 5/3 = 9/3 = 3. 3 <= 5 (Benar). Jadi (4/3, 5/3) adalah titik pojok.

Daerah penyelesaian adalah segitiga yang dibatasi oleh titik-titik:
(2, 0), (4/3, 5/3), dan (8/3, 7/3).

Ini adalah daerah segitiga di kuadran pertama, yang dibatasi oleh garis-garis 5x + 2y = 10, x - 2y = -2, dan x + y = 5, serta berada di dalam kuadran pertama (karena x dan y positif).

Daerah penyelesaiannya adalah daerah segitiga dengan titik-titik sudut (2, 0), (4/3, 5/3), dan (8/3, 7/3).