Dalam sebuah bidang empat T.ABC, bidang-bidang TAB, TAC,

cos alpha = akar(11)/11

Pembahasan

Untuk menghitung nilai cos alpha, kita perlu menggunakan konsep proyeksi bidang. Pertama, kita identifikasi vektor normal dari kedua bidang tersebut. Bidang TAB dan TAC tegak lurus dengan ABC, yang berarti vektor normalnya sejajar dengan bidang ABC. Karena TA tegak lurus dengan ABC, maka vektor TA adalah vektor normal untuk kedua bidang tersebut. Kita bisa menggunakan vektor AB dan AC untuk membentuk bidang ABC. Dengan informasi yang diberikan, kita dapat menghitung panjang proyeksi T pada bidang ABC. Proyeksi T pada bidang ABC adalah titik A karena TA tegak lurus ABC. Selanjutnya, kita perlu mencari vektor yang tegak lurus dengan garis potong kedua bidang, yaitu garis BC. Proyeksi titik T pada bidang TBC adalah titik T itu sendiri. Misalkan kita ambil titik D pada BC sedemikian rupa sehingga TD tegak lurus BC. Maka sudut antara bidang TBC dan ABC adalah sudut TDB, yaitu alpha. Kita dapat menghitung panjang TD dan DB menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga T.ABC dan segitiga ABC. Setelah mendapatkan panjang TD dan DB, kita dapat menghitung cos alpha dari segitiga TDB. Diketahui TA=5, AB=AC=akar(5). Karena AB=AC, maka segitiga ABC adalah segitiga sama kaki. Kita dapat menghitung panjang BC menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC, namun kita perlu tinggi dari A ke BC. Misalkan M adalah titik tengah BC. Maka AM tegak lurus BC. Dalam segitiga TAM, TM adalah garis tinggi dari T ke BC. Kita perlu menghitung panjang AM dan TM. Dalam segitiga ABC, jika kita anggap sudut ABC = sudut ACB = beta, maka cos beta = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC). Namun, kita tidak memiliki informasi cukup untuk menghitung BC secara langsung. Mari kita gunakan pendekatan vektor. Misalkan A adalah titik asal (0,0,0). Karena TA tegak lurus ABC, maka TA sejajar sumbu z. Misalkan T = (0,0,5). Karena AB=AC=akar(5) dan TAB serta TAC tegak lurus ABC, maka AB dan AC tegak lurus satu sama lain. Misalkan B = (akar(5), 0, 0) dan C = (0, akar(5), 0). Maka vektor AB = (akar(5), 0, 0) dan vektor AC = (0, akar(5), 0). Vektor BC = C - B = (-akar(5), akar(5), 0). Panjang BC = sqrt((-akar(5))^2 + (akar(5))^2 + 0^2) = sqrt(5+5) = sqrt(10). Sekarang kita perlu mencari vektor normal bidang TBC. Vektor TB = B - T = (akar(5), 0, -5). Vektor TC = C - T = (0, akar(5), -5). Vektor normal bidang TBC adalah hasil perkalian silang TB x TC = | i j k | | akar(5) 0 -5 | | 0 akar(5) -5 |. TB x TC = i(0 - (-5)akar(5)) - j((-5)akar(5) - 0) + k(akar(5)*akar(5) - 0) = 5akar(5)i + 5akar(5)j + 5k = (5akar(5), 5akar(5), 5). Vektor normal bidang ABC adalah vektor yang tegak lurus AB dan AC. Karena AB sejajar sumbu x dan AC sejajar sumbu y, maka vektor normal ABC adalah searah sumbu z, yaitu k = (0,0,1). Sudut antara dua bidang adalah sudut antara vektor normalnya. cos alpha = | (TB x TC) . k | / || TB x TC || || k ||. (TB x TC) . k = (5akar(5), 5akar(5), 5) . (0,0,1) = 5. || TB x TC || = sqrt((5akar(5))^2 + (5akar(5))^2 + 5^2) = sqrt(125 + 125 + 25) = sqrt(275) = sqrt(25*11) = 5akar(11). || k || = 1. cos alpha = |5| / (5akar(11) * 1) = 5 / (5akar(11)) = 1/akar(11) = akar(11)/11.