Dalam segitiga ABC diketahui AB = 18 cm, BC=30 cm, dan A

a. 18² + 24² = 30², jadi siku-siku. b. Sudut A. c. (m=2√6, n=√6) atau (m=3√3, n=√3).

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa segitiga ABC siku-siku, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miring (sisi terpanjang) sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya (a² + b² = c²).

Diketahui:
AB = 18 cm
BC = 30 cm
AC = 24 cm

Sisi terpanjang adalah BC (30 cm), jadi kita akan mengujinya sebagai sisi miring.

a. Tunjukkan bahwa segitiga ABC siku-siku:
Kita perlu memeriksa apakah AB² + AC² = BC².
18² + 24² = 30²
324 + 576 = 900
900 = 900
Karena kesamaan ini benar, maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku.

b. Sudut manakah yang merupakan sudut siku-siku?
Dalam segitiga siku-siku, sudut siku-siku terletak di hadapan sisi miring. Sisi miring adalah sisi terpanjang, yaitu BC. Sudut yang berhadapan dengan sisi BC adalah sudut A. Jadi, sudut siku-siku adalah sudut A.

c. Jika panjang masing-masing sisi segitiga ABC merupakan tigaan Pythagoras, m²-n², 2mn, dan m²+n², dengan m>n, tentukan nilai m dan n.

Kita memiliki panjang sisi 18, 24, dan 30. Kita tahu bahwa sisi miring adalah yang terbesar, yaitu 30, yang sesuai dengan m² + n².
Jadi, m² + n² = 30.

Kita memiliki dua kemungkinan untuk dua sisi lainnya:
Kemungkinan 1:
m² - n² = 18 dan 2mn = 24
Kemungkinan 2:
m² - n² = 24 dan 2mn = 18

Mari kita coba Kemungkinan 1:
m² - n² = 18
2mn = 24  => mn = 12 => m = 12/n
Substitusikan m ke persamaan pertama:
(12/n)² - n² = 18
144/n² - n² = 18
Kalikan semua dengan n²:
144 - n⁴ = 18n²
Susun ulang menjadi persamaan kuadrat dalam n²:
n⁴ + 18n² - 144 = 0
Misalkan x = n², maka x² + 18x - 144 = 0
Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
(x + 24)(x - 6) = 0
Jadi, x = -24 atau x = 6.
Karena x = n², maka n² harus positif. Jadi, n² = 6.
Ini berarti n = √6. Nilai ini tidak menghasilkan bilangan bulat untuk m.

Mari kita coba Kemungkinan 2:
m² - n² = 24
2mn = 18  => mn = 9 => m = 9/n
Substitusikan m ke persamaan pertama:
(9/n)² - n² = 24
81/n² - n² = 24
Kalikan semua dengan n²:
81 - n⁴ = 24n²
Susun ulang menjadi persamaan kuadrat dalam n²:
n⁴ + 24n² - 81 = 0
Misalkan x = n², maka x² + 24x - 81 = 0
Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
(x + 27)(x - 3) = 0
Jadi, x = -27 atau x = 3.
Karena x = n², maka n² harus positif. Jadi, n² = 3.
Ini berarti n = √3. Nilai ini tidak menghasilkan bilangan bulat untuk m.

Perhatikan bahwa sisi 18, 24, 30 adalah kelipatan 6 dari 3, 4, 5 (yaitu 6x3, 6x4, 6x5).
Untuk tripel Pythagoras dasar (3, 4, 5):
m² - n² = 3
2mn = 4 => mn = 2
m² + n² = 5

Dari 2mn = 4, kita dapatkan mn = 2. Jika m = 2, n = 1.
Periksa dengan persamaan lain:
m² - n² = 2² - 1² = 4 - 1 = 3 (Benar)
m² + n² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5 (Benar)
Jadi, untuk tripel dasar (3, 4, 5), nilai m = 2 dan n = 1.

Karena sisi segitiga ABC adalah 18, 24, 30, yang merupakan 6 kali tripel dasar (3, 4, 5), maka nilai m dan n juga akan dikalikan dengan faktor yang sama.
Jadi, m = 6 * 2 = 12 dan n = 6 * 1 = 6.

Mari kita periksa dengan sisi 18, 24, 30:
Jika m = 12 dan n = 6:
m² - n² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108 (Ini tidak cocok dengan 18 atau 24)

Ada kesalahan dalam asumsi bahwa m dan n harus bilangan bulat atau bahwa sisi-sisi tersebut harus dalam urutan m²-n², 2mn, m²+n² secara langsung.

Mari kita kembali ke m² + n² = 30 dan sisi-sisi lainnya 18 dan 24.
Kita tahu bahwa 2mn adalah sisi yang lebih pendek jika m>n dan m²-n² adalah sisi yang lebih panjang.
Atau sebaliknya, tergantung pada nilai m dan n.

Mari kita gunakan kembali tripel Pythagoras (3, 4, 5) di mana m=2, n=1.
Sisi-sisinya adalah m²-n², 2mn, m²+n² => 3, 4, 5.

Jika kita mengalikan tripel ini dengan 6, kita mendapatkan 18, 24, 30.
Ini berarti sisi-sisi segitiga kita adalah 6 * (m²-n²), 6 * (2mn), 6 * (m²+n²), atau variasinya.
Ini tidak secara langsung memberikan kita nilai m dan n untuk segitiga itu sendiri.

Pertanyaan meminta nilai m dan n JIKA panjang sisi segitiga ABC merupakan tripel Pythagoras m²-n², 2mn, dan m²+n².

Kita perlu menemukan m dan n sedemikian rupa sehingga:
{m²-n², 2mn, m²+n²} = {18, 24, 30}

Karena m² + n² adalah yang terbesar, maka m² + n² = 30.
Kita memiliki dua kasus untuk dua sisi lainnya:

Kasus 1: m² - n² = 18 dan 2mn = 24
Dari 2mn = 24, mn = 12. m = 12/n.
Substitusikan ke m² + n² = 30:
(12/n)² + n² = 30
144/n² + n² = 30
144 + n⁴ = 30n²
n⁴ - 30n² + 144 = 0
Misalkan x = n², maka x² - 30x + 144 = 0.
Faktorkan: (x - 6)(x - 24) = 0.
Jadi, x = 6 atau x = 24.
Jika n² = 6, maka n = √6. m = 12/√6 = 2√6. m² = 24. n² = 6. m² + n² = 24 + 6 = 30. m² - n² = 24 - 6 = 18. 2mn = 2(2√6)(√6) = 2(2*6) = 24. Ini cocok.
Jadi, m = 2√6 dan n = √6.

Kasus 2: m² - n² = 24 dan 2mn = 18
Dari 2mn = 18, mn = 9. m = 9/n.
Substitusikan ke m² + n² = 30:
(9/n)² + n² = 30
81/n² + n² = 30
81 + n⁴ = 30n²
n⁴ - 30n² + 81 = 0
Misalkan x = n², maka x² - 30x + 81 = 0.
Faktorkan: (x - 3)(x - 27) = 0.
Jadi, x = 3 atau x = 27.
Jika n² = 3, maka n = √3. m = 9/√3 = 3√3. m² = 27. n² = 3. m² + n² = 27 + 3 = 30. m² - n² = 27 - 3 = 24. 2mn = 2(3√3)(√3) = 2(3*3) = 18. Ini cocok.
Jadi, m = 3√3 dan n = √3.

Karena kedua kasus memberikan nilai m dan n yang valid, dan pertanyaan tidak menspesifikasikan m dan n harus bilangan bulat, kedua pasangan nilai (m, n) adalah benar.
Namun, jika kita mengasumsikan tripel Pythagoras yang umum dihasilkan dari bilangan bulat m dan n, maka ada kemungkinan soal ini mengacu pada tripel yang diskalakan.

Jika kita menggunakan m=2, n=1 untuk tripel dasar (3,4,5) dan mengalikannya dengan 6, kita mendapatkan (18, 24, 30). Namun, ini tidak berarti m dan n dari segitiga itu sendiri adalah 12 dan 6.

Mari kita fokus pada definisi tripel Pythagoras m²-n², 2mn, m²+n².
Dalam kasus 1: m = 2√6, n = √6. m>n terpenuhi. Sisi-sisinya adalah 18, 24, 30.
Dalam kasus 2: m = 3√3, n = √3. m>n terpenuhi. Sisi-sisinya adalah 24, 18, 30.

Kedua solusi valid berdasarkan deskripsi soal.

Jawaban:
a. Untuk menunjukkan segitiga ABC siku-siku, kita periksa apakah kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya. 18² + 24² = 324 + 576 = 900. 30² = 900. Karena 18² + 24² = 30², maka segitiga ABC siku-siku.
b. Sudut siku-siku adalah sudut yang berhadapan dengan sisi terpanjang (hipotenusa), yaitu sisi BC. Sudut yang berhadapan dengan BC adalah sudut A.
c. Ada dua kemungkinan pasangan nilai (m, n) yang memenuhi: (m = 2√6, n = √6) atau (m = 3√3, n = √3).