Dari 9 siswa yang terdiri dari 6 siswa laki-laki dan 3

a. 84 cara, b. 45 cara, c. 20 cara, d. 1 cara.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan kombinasi dalam pencacahan.
Diketahui ada 9 siswa yang terdiri dari 6 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan. Akan dipilih 6 siswa untuk mewakili sekolah dalam kompetisi matematika.

Kita akan menghitung banyaknya cara memilih keenam siswa tersebut berdasarkan kondisi yang diberikan.

Rumus dasar kombinasi adalah C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), di mana n adalah jumlah total item dan k adalah jumlah item yang dipilih.

a. Setiap siswa mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih.
Dalam kasus ini, kita memilih 6 siswa dari total 9 siswa tanpa syarat.
Banyaknya cara = C(9, 6)
C(9, 6) = 9! / (6! * (9-6)!)
C(9, 6) = 9! / (6! * 3!)
C(9, 6) = (9 * 8 * 7 * 6!) / (6! * 3 * 2 * 1)
C(9, 6) = (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1)
C(9, 6) = 3 * 4 * 7 = 84 cara.

b. 4 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan terpilih.
Kita perlu memilih 4 siswa laki-laki dari 6 siswa laki-laki, dan 2 siswa perempuan dari 3 siswa perempuan.
Banyaknya cara memilih 4 laki-laki dari 6 = C(6, 4)
C(6, 4) = 6! / (4! * (6-4)!)
C(6, 4) = 6! / (4! * 2!)
C(6, 4) = (6 * 5 * 4!) / (4! * 2 * 1)
C(6, 4) = (6 * 5) / 2 = 15 cara.

Banyaknya cara memilih 2 perempuan dari 3 = C(3, 2)
C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!)
C(3, 2) = 3! / (2! * 1!)
C(3, 2) = (3 * 2!) / (2! * 1) = 3 cara.

Total banyaknya cara memilih 4 laki-laki dan 2 perempuan = C(6, 4) * C(3, 2) = 15 * 3 = 45 cara.

c. Siswa perempuan terpilih semua.
Karena hanya ada 3 siswa perempuan dan kita harus memilih 6 siswa, maka jika semua siswa perempuan terpilih, kita perlu memilih 3 siswa perempuan dari 3 siswa perempuan, dan sisanya (6 - 3 = 3) siswa laki-laki dari 6 siswa laki-laki.
Banyaknya cara memilih 3 perempuan dari 3 = C(3, 3)
C(3, 3) = 3! / (3! * (3-3)!)
C(3, 3) = 3! / (3! * 0!) = 1 cara.

Banyaknya cara memilih 3 laki-laki dari 6 = C(6, 3)
C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!)
C(6, 3) = 6! / (3! * 3!)
C(6, 3) = (6 * 5 * 4 * 3!) / (3! * 3 * 2 * 1)
C(6, 3) = (6 * 5 * 4) / 6 = 20 cara.

Total banyaknya cara jika semua siswa perempuan terpilih = C(3, 3) * C(6, 3) = 1 * 20 = 20 cara.

d. Siswa laki-laki terpilih semua.
Jika semua 6 siswa laki-laki terpilih, maka kita perlu memilih 6 siswa laki-laki dari 6 siswa laki-laki, dan sisanya (6 - 6 = 0) siswa perempuan dari 3 siswa perempuan.
Banyaknya cara memilih 6 laki-laki dari 6 = C(6, 6)
C(6, 6) = 6! / (6! * (6-6)!)
C(6, 6) = 6! / (6! * 0!) = 1 cara.

Banyaknya cara memilih 0 perempuan dari 3 = C(3, 0)
C(3, 0) = 3! / (0! * (3-0)!)
C(3, 0) = 3! / (1 * 3!) = 1 cara.

Total banyaknya cara jika semua siswa laki-laki terpilih = C(6, 6) * C(3, 0) = 1 * 1 = 1 cara.