Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis 1/2

Terbukti benar dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^n = 1/2^n dengan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah:

Langkah 1: Basis Induksi
Buktikan pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Ruas kiri: 1/2
Ruas kanan: 1/2^1 = 1/2
Karena ruas kiri = ruas kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:
1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^k = 1/2^k

Kemudian, buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1:
1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^k - 1/2^(k+1) = 1/2^(k+1)

Dari asumsi langkah induksi, kita tahu bahwa:
1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^k = 1/2^k

Jadi, kita bisa substitusikan ke persamaan untuk n = k+1:
(1/2^k) - 1/2^(k+1) = 1/2^(k+1)

Samakan penyebutnya:
(2/2^(k+1)) - (1/2^(k+1)) = 1/2^(k+1)

(2 - 1) / 2^(k+1) = 1/2^(k+1)

1 / 2^(k+1) = 1/2^(k+1)

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n = k+1.

Kesimpulan:
Dengan induksi matematika, terbukti bahwa 1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^n = 1/2^n untuk semua bilangan asli n.