Dengan mengembangkan ruas kiri, buktikan: sin(pi+x)=-sin x

sin(π+x) = -sin x

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri sin(π + x) = -sin x, kita dapat menggunakan definisi sinus dalam lingkaran satuan atau rumus penjumlahan sudut.

Metode 1: Menggunakan Lingkaran Satuan
Dalam lingkaran satuan, sudut θ diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Sebuah titik pada lingkaran satuan yang berjarak r dari pusat (0,0) memiliki koordinat (cos θ, sin θ).

Ketika kita menambahkan π (180 derajat) ke sudut x, kita memutar titik pada lingkaran satuan sejauh 180 derajat. Jika titik awal yang berkorespondensi dengan sudut x memiliki koordinat (cos x, sin x), maka setelah diputar 180 derajat, titik baru akan berada di kuadran yang berlawanan.

Perubahan sudut sebesar π (180 derajat) akan membalikkan tanda baik koordinat x maupun koordinat y.
Jadi, jika titik untuk sudut x adalah (cos x, sin x), maka titik untuk sudut (π + x) adalah (-cos x, -sin x).

Berdasarkan definisi sinus pada lingkaran satuan, sin(π + x) adalah koordinat y dari titik yang berkorespondensi dengan sudut (π + x).
Oleh karena itu, sin(π + x) = -sin x.

Metode 2: Menggunakan Rumus Penjumlahan Sudut
Rumus penjumlahan sudut untuk sinus adalah: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Dalam kasus ini, kita memiliki sin(π + x). Jadi, A = π dan B = x.
Terapkan rumus:
sin(π + x) = sin π cos x + cos π sin x

Kita tahu nilai-nilai berikut:
sin π = 0
cos π = -1

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:
sin(π + x) = (0) cos x + (-1) sin x
sin(π + x) = 0 - sin x
sin(π + x) = -sin x

Kedua metode menunjukkan bahwa sin(π + x) = -sin x.

Jawaban Singkat: Dengan menggunakan rumus penjumlahan sudut sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB, substitusikan A=π dan B=x. Karena sin(π)=0 dan cos(π)=-1, maka sin(π+x) = 0*cos(x) + (-1)*sin(x) = -sin(x).