Dengan menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien

Gradien garis singgungnya adalah 4x - 4.

Pembahasan

Untuk menentukan gradien garis singgung fungsi f(x) = 2(1-x)^2 menggunakan konsep limit, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut menggunakan definisi limit turunan.

Definisi limit turunan adalah:
f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h

Pertama, kita cari f(x+h):
f(x+h) = 2(1 - (x+h))^2
= 2(1 - x - h)^2
= 2[(1 - x) - h]^2
= 2[(1 - x)^2 - 2h(1 - x) + h^2]
= 2[1 - 2x + x^2 - 2h + 2hx + h^2]
= 2 - 4x + 2x^2 - 4h + 4hx + 2h^2

Selanjutnya, kita hitung f(x+h) - f(x):
f(x+h) - f(x) = (2 - 4x + 2x^2 - 4h + 4hx + 2h^2) - 2(1-x)^2
= (2 - 4x + 2x^2 - 4h + 4hx + 2h^2) - 2(1 - 2x + x^2)
= (2 - 4x + 2x^2 - 4h + 4hx + 2h^2) - (2 - 4x + 2x^2)
= 2 - 4x + 2x^2 - 4h + 4hx + 2h^2 - 2 + 4x - 2x^2
= -4h + 4hx + 2h^2

Sekarang, kita masukkan ke dalam rumus limit:
f'(x) = lim (h->0) [-4h + 4hx + 2h^2] / h

Kita bisa memfaktorkan h dari pembilang:
f'(x) = lim (h->0) [h(-4 + 4x + 2h)] / h

Kita bisa membatalkan h di pembilang dan penyebut (karena h mendekati 0, bukan sama dengan 0):
f'(x) = lim (h->0) (-4 + 4x + 2h)

Terakhir, kita substitusikan h = 0:
f'(x) = -4 + 4x + 2(0)
f'(x) = -4 + 4x

Jadi, gradien garis singgung fungsi f(x) = 2(1-x)^2 adalah f'(x) = 4x - 4.