Diketahui matriks P = (4 -7 3 -5) dan Q = (-5 7 -3 4).

Dua matriks P dan Q saling invers jika PQ = QP = I.

Pembahasan

Dua matriks P dan Q dikatakan saling invers jika hasil perkalian matriks PQ = QP = I, di mana I adalah matriks identitas.

Mengalikan matriks P dengan Q:
PQ = (4 -7 3 -5) * (-5 7 -3 4)
PQ = (4*(-5) + (-7)*7  4*7 + (-7)*4)
       (3*(-5) + (-5)*7  3*7 + (-5)*4)
PQ = (-20 - 49  28 - 28)
       (-15 - 35  21 - 20)
PQ = (-69  0)
       (-50  1)

Hasil perkalian PQ tidak menghasilkan matriks identitas (I).

Sekarang, mari kita periksa apakah ada kesalahan dalam soal atau pemahaman. Matriks yang diberikan adalah matriks 1x4, yang biasanya tidak digunakan dalam operasi perkalian matriks standar untuk menentukan invers. Jika kita menganggap matriks tersebut adalah matriks 2x2:

Misalkan P = [[4, -7], [3, -5]] dan Q = [[-5, 7], [-3, 4]]

Untuk menentukan apakah P dan Q saling invers, kita perlu menghitung determinan dari P dan Q, serta hasil perkalian PQ dan QP.

Determinan P (det(P)) = (4 * -5) - (-7 * 3) = -20 - (-21) = -20 + 21 = 1

Determinan Q (det(Q)) = (-5 * 4) - (7 * -3) = -20 - (-21) = -20 + 21 = 1

Karena determinan keduanya bukan nol, maka inversnya ada.

Sekarang kita hitung hasil perkalian PQ:
PQ = [[4, -7], [3, -5]] * [[-5, 7], [-3, 4]]
PQ = [[(4*-5)+(-7*-3), (4*7)+(-7*4)], [(3*-5)+(-5*-3), (3*7)+(-5*4)]]
PQ = [[-20+21, 28-28], [-15+15, 21-20]]
PQ = [[1, 0], [0, 1]]

Hasil perkalian PQ adalah matriks identitas (I).

Sekarang kita hitung hasil perkalian QP:
QP = [[-5, 7], [-3, 4]] * [[4, -7], [3, -5]]
QP = [[(-5*4)+(7*3), (-5*-7)+(7*-5)], [(-3*4)+(4*3), (-3*-7)+(4*-5)]]
QP = [[-20+21, 35-35], [-12+12, 21-20]]
QP = [[1, 0], [0, 1]]

Hasil perkalian QP juga adalah matriks identitas (I).

Karena PQ = QP = I, maka matriks P dan Q saling invers.