DHP dari SPtLDV x+y<=5, 4x+y>=8 2x+9y>=18. x>=0, dan y>=0

DHP adalah daerah segitiga dengan titik sudut (2,0), (0,2), dan (27/17, 28/17).

Pembahasan

Untuk menentukan Daerah Penyelesaian (DHP) dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) yang diberikan, kita perlu menganalisis setiap pertidaksamaan dan menggambarkannya pada sistem koordinat Kartesius.

Pertidaksamaan yang diberikan:
1. x + y ≤ 5
2. 4x + y ≥ 8
3. 2x + 9y ≥ 18
4. x ≥ 0
5. y ≥ 0

Langkah-langkahnya:
1. **Gambar Garis Batas:** Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mendapatkan garis batasnya.
   - x + y = 5
   - 4x + y = 8
   - 2x + 9y = 18
   - x = 0 (sumbu y)
   - y = 0 (sumbu x)

2. **Tentukan Daerah Arsiran untuk Setiap Pertidaksamaan:**
   - **x + y ≤ 5:** Uji titik (0,0). 0 + 0 ≤ 5 (Benar). Arsiran menuju (0,0).
   - **4x + y ≥ 8:** Uji titik (0,0). 4(0) + 0 ≥ 8 (Salah). Arsiran menjauhi (0,0).
   - **2x + 9y ≥ 18:** Uji titik (0,0). 2(0) + 9(0) ≥ 18 (Salah). Arsiran menjauhi (0,0).
   - **x ≥ 0:** Daerah di kanan sumbu y.
   - **y ≥ 0:** Daerah di atas sumbu x.

3. **Identifikasi DHP:** DHP adalah daerah yang memenuhi semua kondisi arsiran secara bersamaan. Karena ada pertidaksamaan "≥" dan "≤", serta "≥ 0" dan "≥ 0", DHP akan berada di kuadran I (karena x≥0 dan y≥0) dan dibatasi oleh ketiga garis lainnya.

4. **Analisis Grafik (Deskripsi):**
   - Garis x + y = 5 memotong sumbu x di (5,0) dan sumbu y di (0,5). Daerah "≤ 5" berada di bawah garis ini.
   - Garis 4x + y = 8 memotong sumbu x di (2,0) dan sumbu y di (0,8). Daerah "≥ 8" berada di atas garis ini.
   - Garis 2x + 9y = 18 memotong sumbu x di (9,0) dan sumbu y di (0,2). Daerah "≥ 18" berada di atas garis ini.

Karena kita mencari daerah yang memenuhi *semua* kondisi, yaitu:
- Di bawah atau pada garis x+y=5
- Di atas atau pada garis 4x+y=8
- Di atas atau pada garis 2x+9y=18
- Di kuadran I (x≥0, y≥0)

DHP adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh perpotongan garis 4x+y=8, 2x+9y=18, dan sumbu x (y=0) serta sumbu y (x=0) yang juga berada di bawah garis x+y=5. Dengan melihat titik potong antar garis, kita bisa lebih spesifik.

Titik Potong:
- 4x+y=8 dan 2x+9y=18: Kalikan persamaan pertama dengan 9 -> 36x+9y=72. Kurangkan dengan persamaan kedua -> (36x-2x) + (9y-9y) = 72-18 -> 34x = 54 -> x = 54/34 = 27/17. Substitusi x ke 4x+y=8 -> 4(27/17)+y=8 -> 108/17+y=8 -> y = 8 - 108/17 = (136-108)/17 = 28/17. Jadi titik potongnya di (27/17, 28/17).
- 4x+y=8 dan y=0 -> 4x=8 -> x=2. Titik potong (2,0).
- 2x+9y=18 dan x=0 -> 9y=18 -> y=2. Titik potong (0,2).
- x+y=5 dan x=0 -> y=5. Titik potong (0,5).
- x+y=5 dan y=0 -> x=5. Titik potong (5,0).

DHP adalah daerah segitiga yang dibentuk oleh titik potong antara garis 4x+y=8 dan 2x+9y=18, titik potong antara 4x+y=8 dengan sumbu y (jika ada dalam DHP), dan titik potong antara 2x+9y=18 dengan sumbu x (jika ada dalam DHP), serta memastikan daerah tersebut berada di bawah x+y=5 dan di kuadran I.

Berdasarkan analisis titik potong dan arah arsiran, DHP yang dimaksud adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh:
- Titik potong garis 4x+y=8 dan 2x+9y=18 (yaitu 27/17, 28/17)
- Titik potong garis 4x+y=8 dengan sumbu x (yaitu (2,0))
- Titik potong garis 2x+9y=18 dengan sumbu y (yaitu (0,2))

Namun, kita harus memeriksa apakah titik-titik ini memenuhi pertidaksamaan x+y ≤ 5:
- (27/17, 28/17): 27/17 + 28/17 = 55/17 ≈ 3.23 ≤ 5 (Memenuhi)
- (2,0): 2 + 0 = 2 ≤ 5 (Memenuhi)
- (0,2): 0 + 2 = 2 ≤ 5 (Memenuhi)

Dan harus berada di kuadran I (x≥0, y≥0).

Jadi, DHP adalah daerah segitiga dengan titik-titik sudut (2,0), (0,2), dan (27/17, 28/17). Daerah ini merupakan daerah yang relevan untuk optimasi dalam program linear.