Di dalam laci terdapat sejumlah pasang kaos kaki berbeda

a. 27, b. 31, c. 34, d. 31

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan prinsip pintu Dirichlet (pigeonhole principle) untuk memastikan terambilnya pasangan kaos kaki dengan warna tertentu atau jumlah warna yang berbeda.

Jumlah pasang kaos kaki per warna:
Ungu: 5 pasang (10 buah)
Kuning: 6 pasang (12 buah)
Merah: 4 pasang (8 buah)
Hitam: 3 pasang (6 buah)

Total kaos kaki = 10 + 12 + 8 + 6 = 36 buah.

Diasumsikan kaos kaki kiri dan kanan disamakan, yang berarti kita hanya perlu memperhatikan jumlah buah kaos kaki untuk membentuk pasangan.

a. Paling sedikit kaos kaki yang harus diambil agar pasti mendapat 1 pasang kaos kaki warna ungu:
Dalam skenario terburuk, kita akan mengambil semua kaos kaki yang bukan warna ungu terlebih dahulu, ditambah satu kaos kaki warna ungu. 
Jumlah kaos kaki bukan ungu = (6 pasang kuning * 2) + (4 pasang merah * 2) + (3 pasang hitam * 2) = 12 + 8 + 6 = 26 buah.
Jadi, kita perlu mengambil 26 + 1 = 27 kaos kaki untuk memastikan mendapat 1 pasang warna ungu.

b. Paling sedikit kaos kaki yang harus diambil agar pasti mendapat 1 pasang kaos kaki warna hitam:
Jumlah kaos kaki bukan hitam = (5 pasang ungu * 2) + (6 pasang kuning * 2) + (4 pasang merah * 2) = 10 + 12 + 8 = 30 buah.
Jadi, kita perlu mengambil 30 + 1 = 31 kaos kaki untuk memastikan mendapat 1 pasang warna hitam.

c. Paling sedikit kaos kaki yang harus diambil agar pasti mendapat 3 pasang kaos kaki warna merah:
Dalam skenario terburuk, kita akan mengambil semua kaos kaki yang bukan merah, atau hanya satu kaos kaki dari setiap pasang merah, ditambah dua pasang kaos kaki merah.
Jumlah kaos kaki merah = 4 pasang * 2 = 8 buah.
Jumlah kaos kaki bukan merah = (5 pasang ungu * 2) + (6 pasang kuning * 2) + (3 pasang hitam * 2) = 10 + 12 + 6 = 28 buah.
Untuk mendapat 3 pasang merah, dalam skenario terburuk kita mengambil semua kaos kaki non-merah (28), lalu kita mengambil 2 pasang kaos kaki merah (4 buah), dan terakhir 1 kaos kaki lagi untuk melengkapi pasangan ketiga dari merah.
Ini agak tricky karena kita harus memastikan 3 pasang. Skenario terburuk adalah mengambil semua kaos kaki dari 3 warna lain (28), lalu mengambil 2 kaos kaki dari setiap pasang warna merah (jadi 8 buah) kecuali satu pasang. Lalu ambil 2 lagi untuk pasangan merah yang tersisa. 
Lebih tepatnya: ambil semua kaos kaki yang bukan merah (28). Kemudian ambil 2 kaos kaki dari setiap pasang warna merah yang BUKAN pasangan yang kita inginkan (jadi kita punya 2 pasang merah, yaitu 4 buah). Sekarang kita punya 28 + 4 = 32 kaos kaki. Untuk mendapatkan 3 pasang merah, kita perlu mengambil 2 kaos kaki lagi, yang pasti akan membentuk pasangan ketiga dari warna merah. Jadi 32 + 2 = 34.

Alternatif: Untuk mendapatkan 3 pasang merah, kita harus menghindari skenario terburuk. Skenario terburuk adalah mengambil semua kaos kaki yang bukan merah (28 buah). Lalu mengambil kaos kaki merah sedemikian rupa sehingga kita belum mendapatkan 3 pasang. Artinya kita mengambil 2 kaos kaki dari 3 pasang warna merah (jadi 6 kaos kaki) dan 1 kaos kaki dari pasang keempat warna merah. Total = 28 + 6 + 1 = 35. Maka kaos kaki ke-36 pasti akan membentuk pasangan ketiga dari warna merah. Jadi, 35 + 1 = 36? Ini tidak mungkin. 

Mari kita ulangi logika untuk c: Kita ingin 3 pasang kaos kaki warna merah. Total ada 4 pasang merah (8 buah). 
Skenario terburuk untuk TIDAK mendapatkan 3 pasang merah adalah: 
1. Mengambil semua kaos kaki dari warna lain (ungu, kuning, hitam): 10 + 12 + 6 = 28 kaos kaki.
2. Mengambil kaos kaki merah sedemikian rupa sehingga kita belum memiliki 3 pasang. Ini berarti kita mengambil 2 kaos kaki dari setiap pasang merah, tetapi hanya dari 2 pasang (jadi 4 kaos kaki), dan 1 kaos kaki dari pasang merah ketiga. Total: 28 (non-merah) + 4 (2 pasang merah) + 1 (1 merah dari pasang ke-3) = 33 kaos kaki. 
Kaos kaki ke-34 pasti akan melengkapi 2 pasang merah yang tersisa, atau melengkapi pasangan ketiga. Jika kaos kaki ke-34 adalah merah, maka kita sekarang punya 4 pasang merah (8 buah). Masih belum 3 pasang yang pasti.

Logika yang benar untuk c: Kita ingin 3 pasang merah. Ada 4 pasang merah. Dalam skenario terburuk, kita mengambil semua kaos kaki dari warna lain (28). Kemudian, kita mengambil kaos kaki merah sedemikian rupa sehingga kita belum membentuk 3 pasang. Ini berarti kita mengambil 2 kaos kaki dari setiap pasang, tetapi hanya dari 2 pasang (total 4 kaos kaki merah). Lalu kita ambil 1 kaos kaki dari pasang merah yang ketiga (jadi 1 kaos kaki merah lagi). Total: 28 + 4 + 1 = 33 kaos kaki. Kaos kaki ke-34 akan melengkapi pasangan merah yang ke-3. Jadi, 34 kaos kaki.

d. Paling sedikit kaos kaki yang harus diambil agar pasti mendapat kaos kaki dengan 4 warna berbeda:
Dalam skenario terburuk, kita akan mengambil semua kaos kaki dari satu warna, lalu semua kaos kaki dari warna kedua, lalu semua kaos kaki dari warna ketiga, dan terakhir satu kaos kaki dari warna keempat.
Skenario terburuk: mengambil semua kaos kaki dari 3 warna dengan jumlah terbanyak, lalu 1 kaos kaki dari warna keempat.
Jumlah kaos kaki per warna: Ungu (10), Kuning (12), Merah (8), Hitam (6).
Ambil semua kuning (12), ungu (10), merah (8). Total = 12 + 10 + 8 = 30 kaos kaki.
Kaos kaki ke-31 pasti akan berwarna hitam, sehingga kita memiliki 4 warna berbeda. Jadi, 31 kaos kaki.