Di suatu kebun ada seekor belalang yang hinggap di rumput.

Model fungsi lintasan: f(t) = -(t-2)^2 + 4 (0≤t≤2), f(t) = 4 (2≤t≤6), f(t) = -4t + 28 (6≤t≤7). Limit pada t=2 adalah 4, dan limit pada t=6 adalah 4.

Pembahasan

Berikut adalah pemodelan fungsi lintasan belalang dan penentuan nilai limitnya:

1.  **Pemodelan Fungsi Lintasan:**
    *   **0-2 menit:** Belalang terbang membentuk lintasan parabola dan mencapai ketinggian maksimum pada menit ke-2. Ini berarti puncak parabola terjadi pada t=2. Kita bisa memodelkan ini sebagai fungsi kuadratik dengan bentuk umum f(t) = a(t-h)^2 + k, di mana (h, k) adalah titik puncak. Karena ketinggian maksimum dicapai pada t=2, maka h=2. Ketinggian pada t=2 adalah 4 meter (karena setelah itu terbang datar setinggi 4 meter). Jadi, puncaknya adalah (2, 4).
        Fungsi sementara: f(t) = a(t-2)^2 + 4.
        Kita perlu satu titik lagi untuk menentukan nilai 'a'. Asumsikan belalang mulai dari tanah pada t=0, maka f(0)=0.
        0 = a(0-2)^2 + 4
        0 = 4a + 4
        4a = -4
        a = -1
        Jadi, model fungsi untuk 0 ≤ t ≤ 2 adalah f(t) = -(t-2)^2 + 4.

    *   **2-6 menit:** Belalang terbang datar setinggi 4 meter. Ini berarti fungsinya konstan:
f(t) = 4, untuk 2 ≤ t ≤ 6.

    *   **6-7 menit:** Belalang terbang menukik lurus ke tanah. Ini berarti lintasan adalah garis lurus dengan gradien negatif yang berakhir di tanah (ketinggian 0) pada t=7. Kita tahu pada t=6, ketinggian adalah 4 meter. Jadi, kita punya dua titik: (6, 4) dan (7, 0).
        Gradien (m) = (0 - 4) / (7 - 6) = -4 / 1 = -4.
        Menggunakan rumus garis y - y1 = m(x - x1):
y - 4 = -4(t - 6)
y = -4t + 24 + 4
y = -4t + 28
        Jadi, model fungsi untuk 6 ≤ t ≤ 7 adalah f(t) = -4t + 28.

    Model fungsi lintasan belalang secara keseluruhan adalah:
    f(t) = {
        -(t-2)^2 + 4,   0 ≤ t ≤ 2
        4,              2 ≤ t ≤ 6
        -4t + 28,       6 ≤ t ≤ 7
    }

2.  **Menentukan Nilai Limit Fungsi:**
    *   **Limit pada t=2:**
        Kita perlu melihat limit dari kiri dan kanan.
        Limit dari kiri (t mendekati 2 dari t < 2): lim (-(t-2)^2 + 4) = -(2-2)^2 + 4 = 0 + 4 = 4.
        Limit dari kanan (t mendekati 2 dari t > 2): lim (4) = 4.
        Karena limit dari kiri sama dengan limit dari kanan, maka lim_{t→2} f(t) = 4.

    *   **Limit pada t=6:**
        Kita perlu melihat limit dari kiri dan kanan.
        Limit dari kiri (t mendekati 6 dari t < 6): lim (4) = 4.
        Limit dari kanan (t mendekati 6 dari t > 6): lim (-4t + 28) = -4(6) + 28 = -24 + 28 = 4.
        Karena limit dari kiri sama dengan limit dari kanan, maka lim_{t→6} f(t) = 4.