Diberikan A=B n C. Manakah di antara tripel produk

A x A = (B x B) ∩ (C x C) dan A x A = (B x C) ∩ (C x B) keduanya benar.

Pembahasan

Hubungan antara himpunan A, B, dan C adalah A = B ∩ C. Kita perlu menentukan tripel produk Cartesius yang benar dari pilihan yang diberikan.

Pilihan a. A x A = (B x B) ∩ (C x C)
Substitusikan A = B ∩ C ke dalam A x A:
(B ∩ C) x (B ∩ C)
Menurut definisi produk Cartesius dari irisan dua himpunan, (B ∩ C) x (B ∩ C) = (B x B) ∩ (C x C).
Ini karena suatu pasangan terurut (x, y) berada dalam (B ∩ C) x (B ∩ C) jika dan hanya jika x ∈ (B ∩ C) dan y ∈ (B ∩ C). Ini berarti x ∈ B dan x ∈ C, dan y ∈ B dan y ∈ C. Dengan kata lain, x ∈ B dan y ∈ B (sehingga (x, y) ∈ B x B) DAN x ∈ C dan y ∈ C (sehingga (x, y) ∈ C x C). Oleh karena itu, (x, y) ∈ (B x B) ∩ (C x C).

Pilihan b. A x A = (B x C) ∩ (C x B)
Substitusikan A = B ∩ C ke dalam A x A:
(B ∩ C) x (B ∩ C)
Ini tidak sama dengan (B x C) ∩ (C x B). Sebagai contoh, jika B = {1, 2} dan C = {2, 3}, maka B ∩ C = {2}.
A x A = {2} x {2} = {(2, 2)}.

B x C = {1, 2} x {2, 3} = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.
C x B = {2, 3} x {1, 2} = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}.
(B x C) ∩ (C x B) = {(2, 2)}.
Dalam contoh ini, kedua sisi ternyata sama. Namun, mari kita pertimbangkan contoh lain: B = {1, 2}, C = {1, 3}.
B ∩ C = {1}.
A x A = {1} x {1} = {(1, 1)}.

B x C = {1, 2} x {1, 3} = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}.
C x B = {1, 3} x {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}.
(B x C) ∩ (C x B) = {(1, 1)}.

Mari kita pertimbangkan kasus di mana B dan C tidak memiliki elemen yang sama persis.
B = {1, 2}, C = {2, 3}
B ∩ C = {2}
A x A = {2} x {2} = {(2, 2)}

B x C = {1, 2} x {2, 3} = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
C x B = {2, 3} x {1, 2} = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
(B x C) ∩ (C x B) = {(2, 2)}

Mari kita pertimbangkan B = {1}, C = {2}.
B ∩ C = ∅
A x A = ∅ x ∅ = ∅

B x C = {1} x {2} = {(1, 2)}
C x B = {2} x {1} = {(2, 1)}
(B x C) ∩ (C x B) = ∅

Namun, kembali ke properti produk Cartesius:
(B ∩ C) x (B ∩ C) adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) sedemikian rupa sehingga x ∈ B dan x ∈ C, dan y ∈ B dan y ∈ C.
(B x C) ∩ (C x B) adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) sedemikian rupa sehingga (x ∈ B dan y ∈ C) DAN (x ∈ C dan y ∈ B).
Ini menyiratkan bahwa x harus berada di B ∩ C dan y harus berada di B ∩ C. Jadi, (B x C) ∩ (C x B) = (B ∩ C) x (B ∩ C).
Oleh karena itu, pilihan b juga benar berdasarkan definisi produk Cartesius dan irisan.

Namun, pertanyaan ini sering kali menguji pemahaman tentang bagaimana operasi himpunan berinteraksi dengan produk Cartesius. Properti yang paling umum diajarkan dan berlaku secara universal adalah:
1. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D)

Menerapkan properti ini pada A = B ∩ C:
A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)
Gunakan properti 1 dengan A=B, C=B, dan B=C, D=C:
(B ∩ C) x (B ∩ C) = (B x B) ∩ (C x C).
Jadi, pilihan a benar.

Sekarang pertimbangkan pilihan b: A x A = (B x C) ∩ (C x B).
Kita tahu A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C).
Jadi, kita perlu memeriksa apakah (B ∩ C) x (B ∩ C) = (B x C) ∩ (C x B).
Sebuah elemen (x, y) ada di (B ∩ C) x (B ∩ C) jika x ∈ (B ∩ C) dan y ∈ (B ∩ C).
Ini berarti x ∈ B, x ∈ C, y ∈ B, dan y ∈ C.

Sebuah elemen (x, y) ada di (B x C) ∩ (C x B) jika (x, y) ∈ (B x C) DAN (x, y) ∈ (C x B).
Ini berarti (x ∈ B dan y ∈ C) DAN (x ∈ C dan y ∈ B).
Ini juga menyiratkan x ∈ B, x ∈ C, y ∈ B, dan y ∈ C.

Oleh karena itu, kedua sisi memang sama. Namun, dalam konteks ujian, seringkali ada satu jawaban yang