Diberikan fungsi dengan sifat f(-x)=3 f(x) untuk setiap x>=

Jika $\int_{-4}^{4} f(x) dx = 12$ dan $f(-x) = 3f(x)$, maka $\int_{0}^{4} f(x) dx = 3$.

Pembahasan

Kita diberikan sifat fungsi $f(-x) = 3f(x)$ untuk setiap $x \ge 0$. Ini menunjukkan bahwa $f(x)$ adalah fungsi ganjil karena $f(-x) = -f(x)$ adalah definisi fungsi ganjil, dan di sini kita memiliki kelipatan 3.

Untuk fungsi ganjil, berlaku sifat bahwa $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$. Namun, dalam kasus ini, hubungan yang diberikan adalah $f(-x) = 3f(x)$, yang berarti:

Integral dari $-a$ sampai $a$ dari $f(x) dx$ adalah:
$\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx$

Ganti variabel pada integral pertama dengan $u = -x$, sehingga $du = -dx$. Ketika $x = -a$, $u = a$. Ketika $x = 0$, $u = 0$.

$\int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-u) (-du) = \int_{0}^{a} f(-u) du$

Karena $f(-u) = 3f(u)$, maka:
$\int_{0}^{a} f(-u) du = \int_{0}^{a} 3f(u) du = 3 \int_{0}^{a} f(u) du$

Jadi, $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 3 \int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx = 4 \int_{0}^{a} f(x) dx$.

Kita diberikan bahwa $\int_{-4}^{4} f(x) dx = 12$. Menggunakan hubungan di atas dengan $a=4$:
$12 = 4 \int_{0}^{4} f(x) dx$

Untuk mencari $\int_{0}^{4} f(x) dx$, kita bagi kedua sisi dengan 4:
$\int_{0}^{4} f(x) dx = 12 / 4 = 3$

Hasil dari $\int_{0}^{4} f(x) dx$ adalah 3.