Diberikan fungsi f(x)=||x-2|-a|-3. Jika grafik fungsi f

Nilai a adalah 3.

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x)=||x-2|-a|-3. Grafik fungsi f memotong sumbu X di tepat tiga titik. Ini berarti f(x) = 0 memiliki tiga solusi.
||x-2|-a|-3 = 0
||x-2|-a| = 3

Ini mengarah pada dua kemungkinan:
1) |x-2|-a = 3  => |x-2| = 3+a
2) |x-2|-a = -3 => |x-2| = a-3

Agar total solusi menjadi tiga, salah satu dari persamaan ini harus memiliki dua solusi dan yang lainnya harus memiliki satu solusi.

Persamaan |x-c| = k memiliki:
- Dua solusi jika k > 0
- Satu solusi jika k = 0
- Tidak ada solusi jika k < 0

Untuk |x-2| = 3+a:
- Agar memiliki dua solusi, 3+a > 0 => a > -3
- Agar memiliki satu solusi, 3+a = 0 => a = -3

Untuk |x-2| = a-3:
- Agar memiliki dua solusi, a-3 > 0 => a > 3
- Agar memiliki satu solusi, a-3 = 0 => a = 3

Kita perlu kombinasi agar total solusi menjadi tiga:

Kasus 1: |x-2| = 3+a memiliki dua solusi (a > -3) DAN |x-2| = a-3 memiliki satu solusi (a = 3).
Jika a = 3, maka 3+a = 3+3 = 6 (dua solusi) dan a-3 = 3-3 = 0 (satu solusi). Total solusi = 2 + 1 = 3. Nilai a = 3 memenuhi syarat ini.

Kasus 2: |x-2| = 3+a memiliki satu solusi (a = -3) DAN |x-2| = a-3 memiliki dua solusi (a > 3).
Jika a = -3, maka a-3 = -3-3 = -6. Persamaan |x-2| = -6 tidak memiliki solusi. Jadi, kasus ini tidak mungkin.

Satu-satunya nilai a yang memenuhi adalah a = 3.