Diberikan kurva y =x^3+2x^2-x+5 . Jika garis singgung kurva

Nilai b yang mungkin adalah 7 atau 149/27.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai *b*, kita perlu mencari gradien garis singgung kurva di titik (a, b) terlebih dahulu. Gradien garis singgung diperoleh dengan menurunkan fungsi *y* terhadap *x*.

Fungsi kurva: y = x³ + 2x² - x + 5
Turunan pertama (gradien): y' = 3x² + 4x - 1

Garis singgung di titik (a, b) sejajar dengan garis y - 3x - 4 = 0. Dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
Gradien garis y - 3x - 4 = 0 dapat dicari dengan mengubahnya ke bentuk y = mx + c, di mana *m* adalah gradien.
y = 3x + 4
Jadi, gradien garis tersebut adalah 3.

Karena garis singgung sejajar dengan garis y - 3x - 4 = 0, maka gradien garis singgung sama dengan 3.
Substitusikan x = a ke dalam turunan pertama:
y'(a) = 3a² + 4a - 1

Karena gradien garis singgung adalah 3:
3a² + 4a - 1 = 3
3a² + 4a - 4 = 0

Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk mencari nilai *a* menggunakan rumus ABC:
a = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 3, b = 4, c = -4.
a = [-4 ± sqrt(4² - 4 * 3 * -4)] / (2 * 3)
a = [-4 ± sqrt(16 + 48)] / 6
a = [-4 ± sqrt(64)] / 6
a = [-4 ± 8] / 6

Kemungkinan nilai *a*:
a₁ = (-4 + 8) / 6 = 4 / 6 = 2/3
a₂ = (-4 - 8) / 6 = -12 / 6 = -2

Sekarang kita perlu mencari nilai *b*. Nilai *b* adalah nilai *y* ketika x = *a*. Kita substitusikan nilai *a* yang mungkin ke dalam persamaan kurva y = x³ + 2x² - x + 5.

Jika a = 2/3:
b = (2/3)³ + 2(2/3)² - (2/3) + 5
b = 8/27 + 2(4/9) - 2/3 + 5
b = 8/27 + 8/9 - 2/3 + 5
Samakan penyebutnya menjadi 27:
b = 8/27 + (8 * 3)/27 - (2 * 9)/27 + (5 * 27)/27
b = 8/27 + 24/27 - 18/27 + 135/27
b = (8 + 24 - 18 + 135) / 27
b = 149/27

Jika a = -2:
b = (-2)³ + 2(-2)² - (-2) + 5
b = -8 + 2(4) + 2 + 5
b = -8 + 8 + 2 + 5
b = 7

Jadi, nilai *b* yang mungkin adalah 149/27 atau 7.