Kelas 11mathKalkulus
Diberikan kurva y =x^3+2x^2-x+5 . Jika garis singgung kurva
Pertanyaan
Diberikan kurva y = x³ + 2x² - x + 5. Jika garis singgung kurva di titik (a, b) sejajar dengan garis y - 3x - 4 = 0, maka nilai b yang mungkin adalah
Solusi
Verified
Nilai b yang mungkin adalah 7 atau 149/27.
Pembahasan
Untuk menentukan nilai *b*, kita perlu mencari gradien garis singgung kurva di titik (a, b) terlebih dahulu. Gradien garis singgung diperoleh dengan menurunkan fungsi *y* terhadap *x*. Fungsi kurva: y = x³ + 2x² - x + 5 Turunan pertama (gradien): y' = 3x² + 4x - 1 Garis singgung di titik (a, b) sejajar dengan garis y - 3x - 4 = 0. Dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Gradien garis y - 3x - 4 = 0 dapat dicari dengan mengubahnya ke bentuk y = mx + c, di mana *m* adalah gradien. y = 3x + 4 Jadi, gradien garis tersebut adalah 3. Karena garis singgung sejajar dengan garis y - 3x - 4 = 0, maka gradien garis singgung sama dengan 3. Substitusikan x = a ke dalam turunan pertama: y'(a) = 3a² + 4a - 1 Karena gradien garis singgung adalah 3: 3a² + 4a - 1 = 3 3a² + 4a - 4 = 0 Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk mencari nilai *a* menggunakan rumus ABC: a = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a Di sini, a = 3, b = 4, c = -4. a = [-4 ± sqrt(4² - 4 * 3 * -4)] / (2 * 3) a = [-4 ± sqrt(16 + 48)] / 6 a = [-4 ± sqrt(64)] / 6 a = [-4 ± 8] / 6 Kemungkinan nilai *a*: a₁ = (-4 + 8) / 6 = 4 / 6 = 2/3 a₂ = (-4 - 8) / 6 = -12 / 6 = -2 Sekarang kita perlu mencari nilai *b*. Nilai *b* adalah nilai *y* ketika x = *a*. Kita substitusikan nilai *a* yang mungkin ke dalam persamaan kurva y = x³ + 2x² - x + 5. Jika a = 2/3: b = (2/3)³ + 2(2/3)² - (2/3) + 5 b = 8/27 + 2(4/9) - 2/3 + 5 b = 8/27 + 8/9 - 2/3 + 5 Samakan penyebutnya menjadi 27: b = 8/27 + (8 * 3)/27 - (2 * 9)/27 + (5 * 27)/27 b = 8/27 + 24/27 - 18/27 + 135/27 b = (8 + 24 - 18 + 135) / 27 b = 149/27 Jika a = -2: b = (-2)³ + 2(-2)² - (-2) + 5 b = -8 + 2(4) + 2 + 5 b = -8 + 8 + 2 + 5 b = 7 Jadi, nilai *b* yang mungkin adalah 149/27 atau 7.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Turunan Fungsi Aljabar
Section: Gradien Garis Singgung
Apakah jawaban ini membantu?