Dengan menggunakan transformasi yang tepat, tunjukkanlah

Elips (x^2)/4+(y^2)/9=1 dapat diperoleh dari lingkaran x^2+y^2=1 dengan menerapkan transformasi skala: x_elips = 2*x_lingkaran dan y_elips = 3*y_lingkaran.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa elips (x^2)/4 + (y^2)/9 = 1 dapat diperoleh dari lingkaran x^2 + y^2 = 1 menggunakan transformasi yang tepat, kita dapat menggunakan transformasi skala.

Lingkaran awal: x^2 + y^2 = 1
Ini adalah lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari 1.

Elips target: (x^2)/4 + (y^2)/9 = 1
Persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai:
(x/2)^2 + (y/3)^2 = 1

Perhatikan bahwa persamaan elips ini memiliki sumbu semi-mayor sepanjang 3 (sepanjang sumbu y) dan sumbu semi-minor sepanjang 2 (sepanjang sumbu x).

Kita dapat mencapai elips ini dari lingkaran satuan dengan menerapkan transformasi skala:
1.  Skala sepanjang sumbu x sebesar faktor 2.
2.  Skala sepanjang sumbu y sebesar faktor 3.

Atau, kita bisa memikirkannya sebagai transformasi yang mengubah koordinat lingkaran satuan ke koordinat elips.
Misalkan kita memiliki titik (x', y') pada elips. Kita ingin menghubungkannya dengan titik (x, y) pada lingkaran satuan sedemikian rupa sehingga transformasi tersebut menghasilkan elips.

Kita dapat mendefinisikan transformasi berikut:
x = 2x'
y = 3y'

Substitusikan koordinat ini ke dalam persamaan lingkaran satuan:
(x')^2 + (y')^2 = 1
Ini akan mengubah lingkaran menjadi elips.

Cara lain, kita bisa mendefinisikan transformasi pada lingkaran satuan untuk menghasilkan elips:
Misalkan x_lingkaran dan y_lingkaran adalah koordinat pada lingkaran satuan (x_lingkaran^2 + y_lingkaran^2 = 1).
Kita ingin mentransformasikan titik-titik ini ke elips.
Kita bisa menggunakan transformasi skala:
x_elips = 2 * x_lingkaran
y_elips = 3 * y_lingkaran

Sekarang, mari kita substitusikan kembali ke dalam persamaan elips:
(x_elips^2)/4 + (y_elips^2)/9 = 1
((2 * x_lingkaran)^2)/4 + ((3 * y_lingkaran)^2)/9 = 1
(4 * x_lingkaran^2)/4 + (9 * y_lingkaran^2)/9 = 1
x_lingkaran^2 + y_lingkaran^2 = 1

Ini adalah persamaan lingkaran satuan yang kita mulai. Jadi, transformasi skala di mana kita mengalikan koordinat x dari lingkaran dengan 2 dan koordinat y dengan 3 akan mengubah lingkaran satuan menjadi elips yang diberikan.