Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a satuan

Nilai sinus sudutnya adalah √6 / 3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sinus sudut antara CH dan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a:

1.  Identifikasi Vektor:
    *   Vektor CH: Dimulai dari C ke H. Jika kita asumsikan C=(0,0,0), maka H=(a,a,a). Vektor CH = H - C = (a, a, a).
    *   Bidang BDHF: Bidang ini dibentuk oleh diagonal-diagonal alas dan atas yang sejajar. Vektor normal untuk bidang ini bisa ditemukan dengan mengambil perkalian silang dari dua vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya vektor BD dan vektor BF.
        *   B=(a,0,0), D=(0,a,0) => Vektor BD = D - B = (-a, a, 0)
        *   B=(a,0,0), F=(a,0,a) => Vektor BF = F - B = (0, 0, a)
        *   Vektor Normal (n) = BD x BF = | i  j  k |
                                        | -a a  0 |
                                        |  0 0  a |
                   n = i(a*a - 0*0) - j((-a)*a - 0*0) + k((-a)*0 - a*0)
                   n = ai + aj + 0k = (a, a, 0)
        Jadi, vektor normal bidang BDHF adalah (a, a, 0) atau bisa disederhanakan menjadi (1, 1, 0).

2.  Hitung Proyeksi Vektor CH pada Vektor Normal Bidang BDHF:
    Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang. Alternatifnya, ini adalah 90 derajat dikurangi sudut antara garis dan vektor normal bidang.

    Kita akan mencari sudut (θ) antara vektor CH (v = (a, a, a)) dan vektor normal bidang BDHF (n = (1, 1, 0)).

    Rumus cosinus sudut antara dua vektor adalah:
    cos θ = (v ⋅ n) / (||v|| ||n||)

    *   v ⋅ n = (a)(1) + (a)(1) + (a)(0) = a + a + 0 = 2a
    *   ||v|| = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3
    *   ||n|| = √(1² + 1² + 0²) = √2

    Jadi, cos θ = (2a) / ((a√3)(√2))
    cos θ = 2a / (a√6)
    cos θ = 2 / √6
    cos θ = 2√6 / 6
    cos θ = √6 / 3

3.  Hitung Sinus Sudut Garis dengan Bidang:
    Sudut antara garis CH dan bidang BDHF (misalkan α) adalah 90° - θ.
    sin α = sin(90° - θ) = cos θ

    Jadi, sin α = √6 / 3.

Alternatif menggunakan proyeksi:
Proyeksi vektor CH pada bidang BDHF. Vektor CH = (a,a,a). Vektor normal bidang BDHF = (1,1,0). Komponen vektor CH yang tegak lurus bidang adalah proyeksinya pada vektor normal.
Proyeksi CH pada n = [(CH . n) / ||n||²] * n
Proyeksi CH pada n = [(2a) / (√2)²] * (1,1,0) = [(2a)/2] * (1,1,0) = a(1,1,0) = (a,a,0).
Panjang proyeksi tegak lurus = ||(a,a,0)|| = √(a²+a²+0) = a√2.
Panjang vektor CH = a√3.
Misalkan sudut antara CH dan bidang adalah α. Maka sin α = (panjang proyeksi tegak lurus) / (panjang CH) = a√2 / (a√3) = √2/√3 = √6/3.