Diberikan limas T.PQRS dengan rusuk alas 10 cm dan tinggi

Jaraknya adalah $\frac{5\sqrt{42}}{7}$ cm.

Pembahasan

Diketahui limas T.PQRS dengan alas persegi PQRS. Rusuk alas $PQ = QR = RS = SP = 10$ cm. Tinggi limas $TB = 5\sqrt{6}$ cm, di mana B adalah titik pusat alas (perpotongan diagonal PR dan QS).
Kita perlu mencari jarak antara titik tengah rusuk PS (misalkan titik M) dengan garis TB.

1.  **Posisi Titik M dan Garis TB:**
    Titik M adalah titik tengah PS. Dalam alas persegi PQRS, M berada pada sumbu simetri yang menghubungkan titik tengah PQ dan RS.
    Garis TB adalah tinggi limas, yang tegak lurus terhadap bidang alas PQRS di titik B.

2.  **Menemukan Titik Potong Proyeksi M ke Alas:**
    Karena TB tegak lurus alas, proyeksi titik M ke bidang alas adalah titik M itu sendiri. Namun, kita perlu melihat hubungan M dengan garis TB.
    Titik B adalah pusat persegi. Jarak dari B ke setiap sisi alas sama. Jarak B ke PS adalah setengah dari panjang rusuk alas, yaitu $10/2 = 5$ cm. Misalkan titik proyeksi B ke garis yang sejajar PS dan melalui M adalah titik N. Maka BN = 5 cm dan BN tegak lurus PS.

3.  **Menggunakan Jarak Titik ke Garis dalam Ruang:**
    Kita bisa membentuk segitiga siku-siku yang relevan. Perhatikan segitiga TBM. TB adalah tinggi (vertikal), dan BM adalah jarak dari pusat alas ke titik tengah sisi alas (horizontal).
    Panjang BM adalah setengah dari panjang rusuk alas, karena B adalah pusat persegi dan M adalah titik tengah sisi PS. Jadi, $BM = \frac{1}{2} 	imes PQ = \frac{1}{2} 	imes 10 = 5$ cm.
    Segitiga TBM adalah segitiga siku-siku di B (karena TB tegak lurus bidang alas).

4.  **Menghitung Jarak dari M ke Garis TB:**
    Jarak dari titik M ke garis TB adalah panjang garis yang ditarik dari M dan tegak lurus terhadap TB. Dalam segitiga siku-siku TBM, garis yang tegak lurus TB dari M adalah ruas garis MN, di mana N adalah titik pada TB sehingga MN tegak lurus TB.
    Untuk mencari panjang MN, kita bisa menggunakan luas segitiga TBM.
    Luas $\Delta TBM = \frac{1}{2} 	imes 	ext{alas} 	imes 	ext{tinggi}$
    Kita bisa gunakan TB sebagai tinggi dan BM sebagai alas (atau sebaliknya):
    Luas $\Delta TBM = \frac{1}{2} 	imes BM 	imes TB = \frac{1}{2} 	imes 5 	imes 5\sqrt{6} = \frac{25\sqrt{6}}{2}$ cm$^2$.

    Sekarang, kita perlu mencari panjang TM (sisi miring segitiga TBM):
    $TM^2 = TB^2 + BM^2$
    $TM^2 = (5\sqrt{6})^2 + 5^2$
    $TM^2 = (25 	imes 6) + 25$
    $TM^2 = 150 + 25$
    $TM^2 = 175$
    $TM = \sqrt{175} = \sqrt{25 \times 7} = 5\sqrt{7}$ cm.

    Sekarang, kita gunakan luas $\Delta TBM$ dengan TM sebagai alas dan MN sebagai tinggi (jarak M ke TB):
    Luas $\Delta TBM = \frac{1}{2} 	imes TM 	imes MN$
    $\frac{25\sqrt{6}}{2} = \frac{1}{2} 	imes 5\sqrt{7} 	imes MN$
    $25\sqrt{6} = 5\sqrt{7} 	imes MN$
    $MN = \frac{25\sqrt{6}}{5\sqrt{7}}$
    $MN = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$
    $MN = \frac{5\sqrt{6} 	imes \sqrt{7}}{\sqrt{7} 	imes \sqrt{7}}$
    $MN = \frac{5\sqrt{42}}{7}$ cm.

Jadi, jarak antara titik tengah rusuk PS dengan garis TB adalah $\frac{5\sqrt{42}}{7}$ cm.