Diberikan matriks-matriks: A=(1 2 3 4), B=(1 0 2 -1) dan

Ya, (AB)C = A(BC) = [[8, -1], [18, -1]]

Pembahasan

Diberikan matriks:
A = (1 2 3 4)
B = (1 0 2 -1)
C = (2 1 1 3)

Untuk melakukan perkalian matriks, jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua. Matriks A dan B adalah matriks baris (1x4), sedangkan matriks C adalah matriks kolom (2x1) atau matriks baris (1x4) tergantung interpretasi. Namun, format penulisan (1 2 3 4) biasanya merujuk pada matriks baris 1x4.

Mari kita asumsikan A, B, dan C adalah matriks baris 1x4 untuk konsistensi penulisan:
A = [1 2 3 4]
B = [1 0 2 -1]
C = [2 1 1 3]

Perkalian matriks AB:
AB = [1*1 + 2*0 + 3*2 + 4*(-1)] = [1 + 0 + 6 - 4] = [3]
Ini menghasilkan matriks 1x1. Perkalian matriks 1x1 dengan matriks 1x4 (C) tidak terdefinisi karena jumlah kolom matriks pertama (1) tidak sama dengan jumlah baris matriks kedua (1, jika C adalah matriks baris 1x4). Jika C diasumsikan matriks kolom 4x1, maka perkaliannya terdefinisi.

Mari kita perbaiki interpretasi bahwa ini adalah baris vektor dan kita mencari perkalian dalam bentuk dot product atau perkalian skalar:

Jika A, B, C adalah matriks baris:
A = [1, 2, 3, 4]
B = [1, 0, 2, -1]
C = [2, 1, 1, 3]

Perkalian AB:
Karena A dan B adalah matriks 1x4, perkalian AB tidak terdefinisi dalam perkalian matriks standar. Namun, jika yang dimaksud adalah hasil perkalian elemen per elemen (Hadamard product) atau dot product, hasilnya akan berbeda.

Jika diasumsikan ada kesalahan penulisan dan matriksnya adalah:
A = [[1], [2], [3], [4]] (4x1)
B = [[1, 0, 2, -1]] (1x4)
C = [[2], [1], [1], [3]] (4x1)

Perkalian AB tidak terdefinisi (4x1 dikali 1x4).

Mari kita coba interpretasi lain di mana A, B, C adalah vektor baris dan kita ingin melakukan operasi yang menghasilkan skalar atau vektor lain:

Kemungkinan interpretasi yang paling masuk akal untuk pertanyaan ini adalah bahwa A, B, dan C adalah matriks 2x2, tetapi ditulis secara tidak standar. Namun, jika kita menganggapnya sebagai matriks 1x4:

Jika A = [1 2 3 4], B = [1 0 2 -1], C = [2 1 1 3]

Untuk (AB)C:
Perkalian AB tidak terdefinisi jika keduanya 1x4.

Jika yang dimaksud adalah bahwa A, B, C adalah elemen dari suatu operasi:

Mari kita asumsikan soal merujuk pada operasi pada vektor baris:
A = [1, 2, 3, 4]
B = [1, 0, 2, -1]
C = [2, 1, 1, 3]

Perkalian (AB) tidak terdefinisi dalam konteks matriks standar.

Jika kita menganggap matriksnya adalah:
A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[1, 0], [2, -1]]
C = [[2, 1], [1, 3]]

Maka:
AB = [[1*1+2*2, 1*0+2*(-1)], [3*1+4*2, 3*0+4*(-1)]] = [[1+4, 0-2], [3+8, 0-4]] = [[5, -2], [11, -4]]
(AB)C = [[5, -2], [11, -4]] * [[2, 1], [1, 3]] = [[5*2+(-2)*1, 5*1+(-2)*3], [11*2+(-4)*1, 11*1+(-4)*3]] = [[10-2, 5-6], [22-4, 11-12]] = [[8, -1], [18, -1]]

BC = [[1, 0], [2, -1]] * [[2, 1], [1, 3]] = [[1*2+0*1, 1*1+0*3], [2*2+(-1)*1, 2*1+(-1)*3]] = [[2+0, 1+0], [4-1, 2-3]] = [[2, 1], [3, -1]]
A(BC) = [[1, 2], [3, 4]] * [[2, 1], [3, -1]] = [[1*2+2*3, 1*1+2*(-1)], [3*2+4*3, 3*1+4*(-1)]] = [[2+6, 1-2], [6+12, 3-4]] = [[8, -1], [18, -1]]

Ya, (AB)C = A(BC).

Kesimpulan berdasarkan interpretasi matriks 2x2:
(AB)C = [[8, -1], [18, -1]]
A(BC) = [[8, -1], [18, -1]]
Ya, (AB)C = A(BC).