Diberikan prisma tegak segitiga yang panjang sisi-sisi

Sisi alas: 13, 14, 15; Tinggi prisma: 14

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan mengenai prisma tegak segitiga dan volumenya.

Diketahui:
1.  Jenis prisma: Prisma tegak segitiga.
2.  Sisi-sisi alas: Merupakan barisan tiga bilangan asli yang berurutan. Misalkan sisi-sisi alas tersebut adalah n, n+1, dan n+2, di mana n adalah bilangan asli.
3.  Tinggi prisma (t): Sama dengan panjang sisi alas yang di tengah, yaitu t = n+1.
4.  Volume prisma (V): 1.176 liter.

Rumus volume prisma adalah V = Luas Alas × Tinggi.
Karena alasnya adalah segitiga, kita perlu mengetahui jenis segitiga alasnya. Karena sisi-sisinya adalah bilangan asli yang berurutan (n, n+1, n+2), ini mengindikasikan kemungkinan segitiga siku-siku. Kita perlu memverifikasi apakah kelipatan dari barisan bilangan berurutan dapat membentuk segitiga siku-siku, yang paling umum adalah 3, 4, 5 atau kelipatannya.

Jika alasnya adalah segitiga siku-siku, maka dua sisi terpendek adalah alas (a) dan tinggi (t_alas) segitiga, dan sisi terpanjang adalah sisi miring (s). Luas alas segitiga siku-siku adalah 1/2 * a * t_alas.

Dalam kasus ini, jika kita mengasumsikan sisi-sisi alas adalah n, n+1, n+2, maka yang paling mungkin menjadi alas dan tinggi segitiga adalah n dan n+1 (jika n+2 adalah sisi miringnya, yang tidak umum untuk sisi alas prisma kecuali ada informasi tambahan). Namun, definisi "sisi alas" untuk prisma merujuk pada sisi-sisi poligon alas. Jika alasnya adalah segitiga dengan sisi n, n+1, n+2, maka luas alasnya tidak bisa langsung diasumsikan 1/2 * n * (n+1) tanpa mengetahui sudutnya.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menguji kelipatan bilangan berurutan yang umum:

Jika sisi alas adalah kelipatan dari 3, 4, 5:
Misalkan sisi alasnya adalah 3k, 4k, 5k.
Dalam kasus ini, sisi alas yang berurutan adalah 3k, 4k, 5k. Sisi tengahnya adalah 4k.
Tinggi prisma (t) = 4k.
Luas Alas = 1/2 * alas_segitiga * tinggi_segitiga = 1/2 * (3k) * (4k) = 6k^2.

Volume V = Luas Alas * Tinggi Prisma
V = (6k^2) * (4k)
V = 24k^3

Kita tahu V = 1.176 liter. Karena 1 liter = 1 dm^3, maka V = 1176 dm^3.
Jadi, 24k^3 = 1176.
k^3 = 1176 / 24
k^3 = 49
Ini tidak menghasilkan nilai k yang bulat, sehingga asumsi sisi alas 3k, 4k, 5k mungkin salah atau bukan kelipatan dari 3, 4, 5.

Mari kita kembali ke definisi: sisi-sisi alas adalah n, n+1, n+2, dan tinggi prisma t = n+1.

Kita perlu mengetahui luas alas segitiga. Jika kita tidak bisa mengasumsikan itu segitiga siku-siku, kita bisa menggunakan rumus Heron jika kita tahu ketiga sisinya, tapi itu tidak membantu menghitung luas alas tanpa mengetahui bentuknya.

Namun, seringkali dalam soal seperti ini, diasumsikan bahwa sisi-sisi yang berurutan tersebut mengacu pada sisi-sisi segitiga siku-siku, karena itu adalah kasus yang paling umum dan dapat diselesaikan dengan informasi yang ada. Jika kita tetap pada asumsi segitiga siku-siku dengan sisi n, n+1, n+2, maka:

Kemungkinan 1: Segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku n dan n+1, dan sisi miring n+2.
   Luas Alas = 1/2 * n * (n+1)
   Tinggi Prisma = n+1
   Volume V = (1/2 * n * (n+1)) * (n+1) = 1/2 * n * (n+1)^2
   1176 = 1/2 * n * (n+1)^2
   2352 = n * (n^2 + 2n + 1)
   2352 = n^3 + 2n^2 + n
   Kita perlu mencari n bilangan asli.
   Jika n=10, 1000 + 200 + 10 = 1210 (terlalu kecil)
   Jika n=12, 1728 + 2*144 + 12 = 1728 + 288 + 12 = 2028 (terlalu kecil)
   Jika n=13, 2197 + 2*169 + 13 = 2197 + 338 + 13 = 2548 (terlalu besar)
   Ini berarti asumsi ini tidak menghasilkan nilai n yang bulat.

Kemungkinan 2: Mungkin ada interpretasi lain dari "sisi-sisi alas merupakan barisan tiga buah bilangan asli yang berurutan" dan "tinggi prisma itu sama dengan panjang sisi alas yang di tengah".

Mari kita coba langsung mencari bilangan berurutan yang jika dikalikan menghasilkan sesuatu yang mendekati volume yang relevan. Kita tahu V = Luas Alas * Tinggi.
Jika kita mengabaikan bentuk segitiga spesifik dan hanya menggunakan fakta bahwa sisi-sisi alas adalah n, n+1, n+2 dan tinggi = n+1:

Kita perlu tahu bagaimana Luas Alas bergantung pada n. Jika alasnya adalah segitiga sama kaki atau segitiga sembarang dengan sisi n, n+1, n+2, mencari luasnya lebih rumit.

Namun, jika kita lihat kembali ke soal, seringkali ada petunjuk implisit. Jika kita mempertimbangkan bilangan bulat berurutan yang umum seperti 7, 8, 9 atau 6, 7, 8. Mari kita cek kelipatannya.

Jika sisi alasnya adalah bilangan berurutan, mari kita uji beberapa nilai:

Coba sisi alas 7, 8, 9:
   Tinggi prisma = 8
   Asumsi alas segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 7 dan 8 (sisi miring 9 tidak masuk akal dalam segitiga siku-siku).
   Jika sisi alasnya adalah 7, 8, 9, maka luas alas segitiga ini tidak bisa dihitung tanpa informasi sudut.

Mari kita kembali ke kelipatan 3, 4, 5. Misalkan sisi alasnya adalah 3x, 4x, 5x.
   Sisi berurutan: 3x, 4x, 5x.
   Sisi tengah: 4x.
   Tinggi prisma (t) = 4x.
   Luas Alas (segitiga siku-siku) = 1/2 * (3x) * (4x) = 6x^2.
   Volume V = Luas Alas * Tinggi Prisma = (6x^2) * (4x) = 24x^3.
   1176 liter = 1176 dm^3.
   24x^3 = 1176
   x^3 = 1176 / 24
   x^3 = 49
   x = kubik dari 49 (bukan bilangan bulat).

Ada kemungkinan interpretasi lain dari soal ini, atau mungkin ada kesalahan ketik pada volume atau definisi.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa sisi alas adalah bilangan bulat yang berurutan dan tinggi prisma adalah sisi tengahnya, dan kita perlu mencari solusi bilangan bulat.

Mari kita coba memecah 1176 menjadi faktor-faktor yang mungkin mewakili Luas Alas dan Tinggi.
1176 = 2 * 588 = 2 * 2 * 294 = 2 * 2 * 2 * 147 = 2^3 * 3 * 49 = 2^3 * 3 * 7^2.

Kita mencari n, n+1, n+2 (sisi alas) dan t = n+1 (tinggi prisma).
Luas Alas = V / t = 1176 / (n+1).
Luas Alas = 1/2 * alas_segitiga * tinggi_segitiga.

Mari kita uji nilai t yang merupakan bilangan berurutan:
Jika t = 7 (n=6, sisi alas 6, 7, 8)
   Luas Alas = 1176 / 7 = 168.
   Apakah segitiga dengan sisi 6, 7, 8 memiliki luas 168? (Ini segitiga sembarang, perlu rumus Heron).
   s = (6+7+8)/2 = 21/2 = 10.5
   Luas = sqrt(10.5 * (10.5-6) * (10.5-7) * (10.5-8))
   Luas = sqrt(10.5 * 4.5 * 3.5 * 2.5)
   Luas = sqrt(438.75 * 2.5) = sqrt(1096.875) ≈ 33.12 (Bukan 168).

Jika t = 8 (n=7, sisi alas 7, 8, 9)
   Luas Alas = 1176 / 8 = 147.
   s = (7+8+9)/2 = 24/2 = 12
   Luas = sqrt(12 * (12-7) * (12-8) * (12-9))
   Luas = sqrt(12 * 5 * 4 * 3)
   Luas = sqrt(720) ≈ 26.83 (Bukan 147).

Jika t = 9 (n=8, sisi alas 8, 9, 10)
   Luas Alas = 1176 / 9 = 130.67 (bukan bilangan bulat, kecil kemungkinannya).

Jika t = 10 (n=9, sisi alas 9, 10, 11)
   Luas Alas = 1176 / 10 = 117.6

Mari kita perhatikan kembali kelipatan 3, 4, 5. Jika bukan sisi yang membentuk siku-siku, tetapi hanya sisi-sisi alasnya.

Ada kemungkinan bahwa sisi alasnya adalah 7, 8, 9 DAN alas segitiga siku-siku adalah salah satu pasangan sisi tersebut, dan tinggi prisma adalah 8. Namun, soal menyatakan "panjang sisi-sisi alasnya merupakan barisan tiga buah bilangan asli yang berurutan". Ini berarti ketiga sisi segitiga alas adalah n, n+1, n+2.

Jika kita perhatikan faktorisasi 1176 = 2^3 * 3 * 7^2 = 8 * 3 * 49 = 24 * 49.
Atau 1176 = 7 * 8 * 3 * 7 = 7 * 8 * 21.
Atau 1176 = 7 * 12 * 14.

Mari kita coba kembali ke kelipatan 3, 4, 5, tapi dengan pendekatan yang berbeda.
Jika sisi alas adalah 3x, 4x, 5x, maka tingginya adalah 4x. Ini adalah asumsi yang paling umum jika ada segitiga siku-siku.
Volume = 24x^3 = 1176
x^3 = 49
Ini tidak cocok.

Bagaimana jika sisi alasnya adalah 6, 8, 10 (kelipatan 3, 4, 5)? Ini bukan bilangan berurutan.

Bagaimana jika sisi alasnya adalah 7, 8, 9 (berurutan)?
   Tinggi prisma = 8.
   Luas Alas = 1176 / 8 = 147.
   Jika segitiga dengan sisi 7, 8, 9.
   Apakah mungkin salah satu sisi alas (bukan alas dan tinggi segitiga siku-siku) adalah 7, 8, 9?
   Misalkan sisi alasnya adalah segitiga siku-siku dengan alas 'a' dan tinggi 'h'.
   Luas Alas = 1/2 * a * h.
   Tinggi prisma = sisi tengah = n+1.

Mari kita coba menguji nilai n sehingga (n+1) adalah faktor dari 1176.
Faktor-faktor 1176: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 49, 56, 84, 98, 147, 168, 196, 294, 392, 588, 1176.

Kita perlu mencari n sedemikian rupa sehingga n, n+1, n+2 adalah sisi alas, dan n+1 adalah tinggi prisma.

Jika n+1 = 7 (n=6). Sisi alas = 6, 7, 8. Tinggi prisma = 7.
   Luas Alas = 1176 / 7 = 168.
   Apakah segitiga dengan sisi 6, 7, 8 memiliki luas 168? Kita sudah hitung, luasnya sekitar 33.12.

Jika n+1 = 8 (n=7). Sisi alas = 7, 8, 9. Tinggi prisma = 8.
   Luas Alas = 1176 / 8 = 147.
   Apakah segitiga dengan sisi 7, 8, 9 memiliki luas 147? Kita sudah hitung, luasnya sekitar 26.83.

Jika n+1 = 12 (n=11). Sisi alas = 11, 12, 13. Tinggi prisma = 12.
   Luas Alas = 1176 / 12 = 98.
   Apakah segitiga dengan sisi 11, 12, 13 memiliki luas 98?
   s = (11+12+13)/2 = 36/2 = 18.
   Luas = sqrt(18 * (18-11) * (18-12) * (18-13))
   Luas = sqrt(18 * 7 * 6 * 5)
   Luas = sqrt(3780) ≈ 61.48 (Bukan 98).

Jika n+1 = 14 (n=13). Sisi alas = 13, 14, 15. Tinggi prisma = 14.
   Luas Alas = 1176 / 14 = 84.
   Apakah segitiga dengan sisi 13, 14, 15 memiliki luas 84?
   s = (13+14+15)/2 = 42/2 = 21.
   Luas = sqrt(21 * (21-13) * (21-14) * (21-15))
   Luas = sqrt(21 * 8 * 7 * 6)
   Luas = sqrt(7056)
   Luas = 84.

Ini cocok! Jadi, sisi-sisi alas adalah 13, 14, 15, dan tinggi prisma adalah 14.

Jadi, ukuran prisma tersebut adalah:
Sisi alas segitiga: 13, 14, 15.
Tinggi prisma: 14.