Diberikan sin A=3/5 dan cos B=12/13 dengan A dan B sudut

53/72

Pembahasan

Diketahui $\sin A = 3/5$ dan $\cos B = 12/13$, dengan A dan B adalah sudut lancip.
Kita perlu mencari nilai dari $\tan^2(A) + \tan^2(B)$.

Untuk mencari $\tan A$ dan $\tan B$, kita perlu menentukan nilai $\cos A$ dan $\sin B$ terlebih dahulu.

Untuk sudut A:
Diketahui $\sin A = 3/5$. Karena A adalah sudut lancip, maka A berada di kuadran I, di mana sinus, kosinus, dan tangen semuanya positif.
Kita dapat menggunakan identitas Pythagoras: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
$(3/5)^2 + \cos^2 A = 1$
$9/25 + \cos^2 A = 1$
$\cos^2 A = 1 - 9/25$
$\cos^2 A = 16/25$
Karena A lancip, $\cos A = \sqrt{16/25} = 4/5$.

Sekarang kita bisa mencari $\tan A$:
$\tan A = \sin A / \cos A = (3/5) / (4/5) = 3/4$.

Maka, $\tan^2(A) = (3/4)^2 = 9/16$.

Untuk sudut B:
Diketahui $\cos B = 12/13$. Karena B adalah sudut lancip, maka B berada di kuadran I.
Kita gunakan identitas Pythagoras: $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$.
$\sin^2 B + (12/13)^2 = 1$
$\sin^2 B + 144/169 = 1$
$\sin^2 B = 1 - 144/169$
$\sin^2 B = 25/169$
Karena B lancip, $\sin B = \sqrt{25/169} = 5/13$.

Sekarang kita bisa mencari $\tan B$:
$\tan B = \sin B / \cos B = (5/13) / (12/13) = 5/12$.

Maka, $\tan^2(B) = (5/12)^2 = 25/144$.

Terakhir, kita hitung $\tan^2(A) + \tan^2(B)$:
$\tan^2(A) + \tan^2(B) = 9/16 + 25/144$
Untuk menjumlahkan pecahan ini, kita perlu menyamakan penyebutnya. Kelipatan persekutuan terkecil dari 16 dan 144 adalah 144.
$9/16 = (9 \times 9) / (16 \times 9) = 81/144$.

Maka:
$\tan^2(A) + \tan^2(B) = 81/144 + 25/144$
$\tan^2(A) + \tan^2(B) = (81 + 25) / 144$
$\tan^2(A) + \tan^2(B) = 106 / 144$

Kita bisa menyederhanakan pecahan ini dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2:
$106 / 144 = 53 / 72$.

Jadi, nilai dari $\tan^2(A) + \tan^2(B)$ adalah $53/72$.