Diberikan vektor-vektor berikut: vektor a=(1 1 akar(2)) ,

-1 atau -√2 - 1

Pembahasan

Diberikan vektor a=(1, 1, √2), vektor b=(2, 2√2, p), dan vektor c=(0, q, √2).

Diketahui bahwa panjang proyeksi vektor b pada vektor a adalah 1.
Rumus panjang proyeksi vektor b pada vektor a adalah: |proj_a b| = |a · b| / |a|

Pertama, hitung hasil kali titik (dot product) a · b:
a · b = (1)(2) + (1)(2√2) + (√2)(p)
a · b = 2 + 2√2 + p√2

Kedua, hitung panjang vektor a (|a|):
|a| = √(1² + 1² + (√2)²)
|a| = √(1 + 1 + 2)
|a| = √4
|a| = 2

Sekarang, gunakan rumus panjang proyeksi:
1 = |2 + 2√2 + p√2| / 2
2 = |2 + 2√2 + p√2|
Ini berarti 2 + 2√2 + p√2 = 2 atau 2 + 2√2 + p√2 = -2.

Kasus 1: 2 + 2√2 + p√2 = 2
p√2 = -2√2
p = -2

Kasus 2: 2 + 2√2 + p√2 = -2
p√2 = -4 - 2√2
p = (-4 - 2√2) / √2
p = -4/√2 - 2
p = -2√2 - 2

Selanjutnya, diketahui bahwa vektor b tegak lurus dengan vektor c. Ini berarti hasil kali titik mereka adalah 0 (b · c = 0).

b · c = (2)(0) + (2√2)(q) + (p)(√2)
0 = 0 + 2√2 q + p√2
0 = q(2√2) + p√2

Sekarang kita substitusikan nilai p yang mungkin:

Jika p = -2:
0 = q(2√2) + (-2)√2
0 = q(2√2) - 2√2
q(2√2) = 2√2
q = 1

Dalam kasus ini, p + q = -2 + 1 = -1.

Jika p = -2√2 - 2:
0 = q(2√2) + (-2√2 - 2)√2
0 = q(2√2) - 4 - 2√2
q(2√2) = 4 + 2√2
q = (4 + 2√2) / (2√2)
q = 4/(2√2) + (2√2)/(2√2)
q = 2/√2 + 1
q = √2 + 1

Dalam kasus ini, p + q = (-2√2 - 2) + (√2 + 1) = -√2 - 1.

Karena tidak ada pilihan jawaban yang diberikan untuk soal ini, kita akan memberikan salah satu solusi yang mungkin. Dengan asumsi p = -2 dan q = 1, maka p + q = -1.

Jika kita harus memilih dari kemungkinan jawaban yang umum ada dalam soal pilihan ganda, dan kita lihat soalnya meminta "maka nilai p+q adalah ...." tanpa memberikan pilihan, kita perlu memeriksa kembali apakah ada informasi yang terlewat atau asumsi yang bisa dibuat.

Mari kita perhatikan kembali kasus p = -2 dan q = 1. Ini memberikan hasil p+q = -1.
Mari kita perhatikan kasus p = -2√2 - 2 dan q = √2 + 1. Ini memberikan hasil p+q = -√2 - 1.

Tanpa pilihan jawaban, sulit untuk menentukan mana yang dimaksudkan. Namun, jika kita melihat format soal yang seringkali memiliki jawaban yang lebih 'bulat', p=-2 dan q=1 adalah kandidat yang lebih kuat.

Mari kita asumsikan p = -2 dan q = 1, sehingga p+q = -1. 

Update: Karena format yang diminta adalah soal QnA tanpa pilihan, maka jawaban lengkap akan diberikan.