Diketahu bidang empat T.ABC. TA=TB=5, TC=akar(37),

2√3

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik T ke bidang ABC, kita dapat menggunakan konsep luas segitiga dan proyeksi.
Diketahui bidang empat T.ABC dengan TA=TB=5, TC=akar(37), AC=BC=akar(58), dan AB=6.

Pertama, kita cari panjang sisi-sisi segitiga ABC:
AC = BC = akar(58)
AB = 6
Karena AC = BC, segitiga ABC adalah segitiga sama kaki.

Kita cari tinggi segitiga ABC dari C ke AB. Misalkan M adalah titik tengah AB. Maka AM = MB = 3.
Dalam segitiga AMC, AC^2 = AM^2 + CM^2
(akar(58))^2 = 3^2 + CM^2
58 = 9 + CM^2
CM^2 = 49
CM = 7

Luas segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AB * CM = 1/2 * 6 * 7 = 21.

Selanjutnya, kita tinjau segitiga TAB. TA = TB = 5, AB = 6. Segitiga TAB adalah segitiga sama kaki.
Misalkan N adalah titik tengah AB. Maka AN = NB = 3.
Dalam segitiga TNA, TA^2 = TN^2 + AN^2
5^2 = TN^2 + 3^2
25 = TN^2 + 9
TN^2 = 16
TN = 4.

Sekarang kita tinjau segitiga TAC dan TBC.
AC = BC = akar(58)
TA = TB = 5
TC = akar(37)

Kita perlu mencari tinggi dari T ke bidang ABC. Misalkan T' adalah proyeksi T ke bidang ABC. Jarak T ke bidang ABC adalah TT'.
Kita dapat menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TTA', TTB', TTC'.

Karena TA = TB, maka proyeksi A dan B ke bidang ABC harus berjarak sama dari T'.

Mari kita periksa apakah segitiga ABC siku-siku atau memiliki sifat khusus.
AC^2 = 58, BC^2 = 58, AB^2 = 36.
Karena AC^2 + BC^2 != AB^2 (58+58 != 36) dan AC^2 + AB^2 != BC^2 (58+36 != 58), segitiga ABC bukan siku-siku.

Mari kita cari panjang rusuk TC relatif terhadap titik T. TC = akar(37).

Misalkan T' adalah proyeksi T pada bidang ABC. Jarak yang dicari adalah TT'.
Dalam segitiga TTA', TT'^2 + TA'^2 = TA^2 = 25.
Dalam segitiga TTB', TT'^2 + TB'^2 = TB^2 = 25.
Dalam segitiga TTC', TT'^2 + TC'^2 = TC^2 = 37.

Dari TT'^2 + TA'^2 = 25 dan TT'^2 + TB'^2 = 25, maka TA' = TB'.
Ini berarti T' terletak pada garis sumbu dari segmen AB.

Misalkan T' memiliki koordinat (x,y) relatif terhadap suatu sistem koordinat pada bidang ABC.

Kita bisa menggunakan volume tetrahedron.
Volume = 1/3 * Luas Alas * Tinggi.

Mari kita gunakan sisi TC. Panjang TC = akar(37).
Dalam segitiga TMC, TC^2 = TM^2 + CM^2
(akar(37))^2 = TM^2 + 7^2
37 = TM^2 + 49
TM^2 = 37 - 49 = -12. Ini tidak mungkin, yang berarti ada kesalahan dalam asumsi penempatan T' atau dalam perhitungan awal.

Mari kita periksa kembali segitiga ABC. CM=7, AM=3, AC=akar(58).
Mari kita periksa segitiga TBC. TB=5, BC=akar(58), TC=akar(37).

Kita perlu mencari proyeksi T ke bidang ABC. Misalkan O adalah titik proyeksi T ke bidang ABC.
TO adalah tinggi yang dicari.

Dalam segitiga TOA, TO^2 + OA^2 = TA^2 = 25.
Dalam segitiga TOB, TO^2 + OB^2 = TB^2 = 25.
Maka OA = OB. O terletak pada sumbu simetri segitiga ABC.
Dalam segitiga TOC, TO^2 + OC^2 = TC^2 = 37.

Karena OA = OB, O terletak pada garis yang tegak lurus AB dan melalui titik tengah M dari AB. Jadi O terletak pada garis CM.
Misalkan jarak OM = x. Maka OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + 3^2 = x^2 + 9.
Karena O terletak pada CM, maka OC = CM - OM = 7 - x (jika O antara C dan M) atau OC = CM + OM = 7 + x (jika M antara C dan O).

Kasus 1: O terletak di antara C dan M.
OC = 7 - x.
Substitusikan ke persamaan:
TO^2 + (7-x)^2 = 37
TO^2 + 49 - 14x + x^2 = 37

Dari TO^2 + OA^2 = 25:
TO^2 + x^2 + 9 = 25
TO^2 = 16 - x^2

Substitusikan TO^2 ke persamaan sebelumnya:
(16 - x^2) + 49 - 14x + x^2 = 37
65 - 14x = 37
-14x = 37 - 65
-14x = -28
x = 2

Karena x=2, maka OM=2. Ini berarti O terletak di antara C dan M, karena CM=7. Jadi OC = CM - OM = 7 - 2 = 5.

Sekarang kita hitung TO^2:
TO^2 = 16 - x^2 = 16 - 2^2 = 16 - 4 = 12.
TO = akar(12) = 2 * akar(3).

Mari kita periksa dengan OC:
TO^2 + OC^2 = 12 + 5^2 = 12 + 25 = 37. Ini sesuai dengan TC^2 = 37.

Jadi, jarak titik T ke bidang ABC adalah 2 * akar(3).