Pertidaksamaan 25log(x^2-2x-3)<1/2 dipenuhi oleh . . . .

$-2 < x < -1$ atau $3 < x < 4$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ${ }^{25} \log \left(x^{2}-2 x-3\right)<\frac{1}{2}$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  Tentukan syarat numerus (argumen logaritma) harus positif:
    $x^2 - 2x - 3 > 0$
    Faktorkan kuadrat: $(x-3)(x+1) > 0$.
    Ini terpenuhi ketika $x < -1$ atau $x > 3$.

2.  Ubah basis logaritma menjadi bentuk yang sama atau ubah bentuk pertidaksamaan:
    Basis logaritma adalah 25. Kita bisa mengubah $\frac{1}{2}$ menjadi bentuk logaritma dengan basis 25.
    Ingat bahwa $a^{\log_a b} = b$. Kita ingin mencari $y$ sehingga $25^y = x^2 - 2x - 3$.
    Dalam kasus ini, kita punya $\frac{1}{2}$ di sisi kanan. Kita bisa menulis $\frac{1}{2}$ sebagai $\log_{25} (25^{1/2})$.
    $25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$.
    Jadi, $\frac{1}{2} = \log_{25} 5$.

3.  Tulis ulang pertidaksamaan:
    ${ }^{25} \log \left(x^{2}-2 x-3\right)<\log_{25} 5$.

4.  Karena basis logaritma (25) lebih besar dari 1, arah pertidaksamaan tetap sama ketika kita menghilangkan logaritma:
    $x^2 - 2x - 3 < 5$
    $x^2 - 2x - 3 - 5 < 0$
    $x^2 - 2x - 8 < 0$.

5.  Faktorkan kuadrat:
    Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -8 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -4 dan 2.
    $(x-4)(x+2) < 0$.
    Ini terpenuhi ketika $-2 < x < 4$.

6.  Gabungkan solusi dengan syarat numerus:
    Kita punya dua kondisi:
    i) $x < -1$ atau $x > 3$
    ii) $-2 < x < 4$

    Untuk menggabungkan kedua kondisi ini, kita cari irisan (bagian yang sama) dari kedua himpunan solusi.
    Jika kita gambarkan pada garis bilangan:
    - Kondisi (i) adalah $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
    - Kondisi (ii) adalah $(-2, 4)$.

    Irisan dari kedua himpunan ini adalah:
    - Irisan dari $(-2, 4)$ dengan $(-\infty, -1)$ adalah $(-2, -1)$.
    - Irisan dari $(-2, 4)$ dengan $(3, \infty)$ adalah $(3, 4)$.

    Jadi, gabungan kedua irisan tersebut adalah $-2 < x < -1$ atau $3 < x < 4$.

Pertidaksamaan ${ }^{25} \log \left(x^{2}-2 x-3\right)<\frac{1}{2}$ dipenuhi oleh interval $(-2, -1)$ atau $(3, 4)$.