Diketahui 9 lukisan yang berbeda akan dipajang lurus pada

a. 241.920 cara, b. 151.200 cara.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi.

a. Jika tiga lukisan selalu berdampingan: 
Anggap ketiga lukisan yang selalu berdampingan sebagai satu unit. Maka kita memiliki 8 unit yang perlu diatur (7 lukisan tunggal + 1 unit gabungan). Jumlah cara mengatur 8 unit ini adalah 8!. Di dalam unit gabungan, ketiga lukisan tersebut dapat diatur dalam 3! cara. Jadi, total cara adalah 8! × 3! = 40.320 × 6 = 241.920 cara.

b. Jika tiga lukisan tidak pernah berdampingan: 
Ini adalah kasus yang lebih kompleks. Cara termudah adalah menghitung total cara mengatur 9 lukisan (9!) dan menguranginya dengan kasus di mana ketiga lukisan itu berdampingan (seperti pada poin a). Namun, ini akan menghitung kasus di mana dua dari tiga lukisan itu berdampingan, tetapi tidak ketiganya. 

Pendekatan yang lebih tepat untuk 'tidak pernah berdampingan' adalah dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi atau dengan menempatkan lukisan-lukisan lain terlebih dahulu. 
Cara lain adalah menempatkan 6 lukisan yang tersisa terlebih dahulu (6! cara). Ini menciptakan 7 ruang kosong di antara dan di luar lukisan-lukisan tersebut. Kemudian, pilih 3 dari 7 ruang tersebut untuk menempatkan tiga lukisan yang tidak boleh berdampingan (P(7,3) cara). Jadi, total cara = 6! × P(7,3) = 720 × (7 × 6 × 5) = 720 × 210 = 151.200 cara.

Ringkasan:
a. 241.920 cara
b. 151.200 cara