Diketahui A=(2, -1, 1), B=(-1, 1, 1) dan C = (x, y, z).

C sama dengan kelipatan skalar dari (-2, -3, 1).

Pembahasan

Diketahui vektor posisi A = (2, -1, 1) dan vektor posisi B = (-1, 1, 1). Kita ingin mencari vektor posisi C = (x, y, z) sedemikian rupa sehingga vektor C tegak lurus pada vektor A dan vektor B.

Vektor C tegak lurus pada vektor A jika hasil kali titik (dot product) antara A dan C adalah nol: A · C = 0.
(2, -1, 1) · (x, y, z) = 0
2x - y + z = 0 (Persamaan 1)

Vektor C tegak lurus pada vektor B jika hasil kali titik antara B dan C adalah nol: B · C = 0.
(-1, 1, 1) · (x, y, z) = 0
-x + y + z = 0 (Persamaan 2)

Kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan tiga variabel. Salah satu cara untuk menemukan vektor C yang memenuhi kondisi ini adalah dengan mencari vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor A dan B, yaitu vektor hasil perkalian silang (cross product) A x B.

A x B = 
  | i   j   k  |
  | 2  -1   1  |
  | -1  1   1  |

A x B = i((-1)(1) - (1)(1)) - j((2)(1) - (1)(-1)) + k((2)(1) - (-1)(-1))
A x B = i(-1 - 1) - j(2 - (-1)) + k(2 - 1)
A x B = i(-2) - j(3) + k(1)
A x B = -2i - 3j + k

Vektor C bisa berupa kelipatan dari vektor hasil perkalian silang ini, karena setiap kelipatannya juga akan tegak lurus terhadap A dan B. Jadi, C = k(A x B) = k(-2, -3, 1) = (-2k, -3k, k) untuk sembarang skalar k.

Jika kita pilih k=1, maka C = (-2, -3, 1).

Mari kita cek apakah C = (-2, -3, 1) memenuhi kedua persamaan:
Persamaan 1: 2x - y + z = 2(-2) - (-3) + 1 = -4 + 3 + 1 = 0. (Benar)
Persamaan 2: -x + y + z = -(-2) + (-3) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0. (Benar)

Jadi, vektor posisi C bisa berupa (-2, -3, 1) atau kelipatan skalar dari vektor ini.