Diketahui A=(2 1 -4 3). Jika A^2=mA+nI dengan I adalah

Nilai m+n adalah -5.

Pembahasan

Diberikan matriks A = 
(2  1)
(-4  3).
Kita perlu mencari nilai m dan n sehingga A^2 = mA + nI, di mana I adalah matriks identitas ordo 2x2, yaitu I = 
(1  0)
(0  1).

Langkah 1: Hitung A^2.
A^2 = A * A = 
(2  1)
(-4  3) * 
(2  1)
(-4  3)

A^2 = 
( (2*2 + 1*(-4))  (2*1 + 1*3) )
( (-4*2 + 3*(-4))  (-4*1 + 3*3) )

A^2 = 
( (4 - 4)  (2 + 3) )
( (-8 - 12)  (-4 + 9) )

A^2 = 
(0  5)
(-20  5)

Langkah 2: Hitung mA + nI.
mA + nI = m * 
(2  1)
(-4  3) + n * 
(1  0)
(0  1)

mA + nI = 
(2m  m)
(-4m  3m) + 
(n  0)
(0  n)

mA + nI = 
(2m+n  m)
(-4m  3m+n)

Langkah 3: Samakan A^2 dengan mA + nI.

(0  5)
(-20  5) = 
(2m+n  m)
(-4m  3m+n)

Dengan menyamakan elemen-elemen matriks yang bersesuaian, kita dapat membentuk sistem persamaan:

Dari elemen baris 1, kolom 2: 5 = m
Dari elemen baris 2, kolom 1: -20 = -4m => m = -20 / -4 = 5

Kedua persamaan memberikan nilai m = 5. Sekarang kita gunakan salah satu persamaan lain untuk mencari n.

Dari elemen baris 1, kolom 1: 0 = 2m + n
Substitusikan m = 5:
0 = 2(5) + n
0 = 10 + n
n = -10

Dari elemen baris 2, kolom 2: 5 = 3m + n
Substitusikan m = 5:
5 = 3(5) + n
5 = 15 + n
n = 5 - 15
n = -10

Kedua persamaan memberikan nilai n = -10.

Langkah 4: Hitung m + n.
m + n = 5 + (-10)
m + n = -5

Jadi, nilai m + n adalah -5.