Tentukan nilai m dan n apabila: P(t) = -3t^3 + 14t^2+ mt +

Nilai m adalah -18 dan nilai n adalah 8.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai m dan n, kita perlu menggunakan konsep pembagian polinomial dan sisa.
Polinomial P(t) = -3t^3 + 14t^2 + mt + n.
Pembagi Q(t) = 4t - t^2 - 1.
Sisa R(t) = 6 - 7t.

Menurut teorema sisa, P(t) = Q(t) * H(t) + R(t), di mana H(t) adalah hasil bagi.
Ini berarti bahwa P(t) - R(t) harus habis dibagi oleh Q(t).

P(t) - R(t) = (-3t^3 + 14t^2 + mt + n) - (6 - 7t)
P(t) - R(t) = -3t^3 + 14t^2 + (m+7)t + (n-6)

Kita perlu mencari akar-akar dari pembagi Q(t) = -t^2 + 4t - 1 = 0.
Menggunakan rumus kuadrat: t = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
t = [-4 ± sqrt(4^2 - 4*(-1)*(-1))] / (2*(-1))
t = [-4 ± sqrt(16 - 4)] / -2
t = [-4 ± sqrt(12)] / -2
t = [-4 ± 2*sqrt(3)] / -2
t = 2 ± (-sqrt(3))

Jadi, akar-akarnya adalah t1 = 2 + sqrt(3) dan t2 = 2 - sqrt(3).

Karena P(t) - R(t) habis dibagi oleh Q(t), maka P(t1) - R(t1) = 0 dan P(t2) - R(t2) = 0.
Kita dapat menggunakan fakta bahwa jika suatu polinomial habis dibagi oleh polinomial lain, maka akar-akar dari pembagi juga merupakan akar dari polinomial tersebut.

Alternatif lain yang lebih mudah adalah dengan menyamakan koefisien.
Karena Q(t) adalah polinomial derajat 2, dan P(t) - R(t) adalah polinomial derajat 3, maka hasil bagi H(t) harus berupa polinomial derajat 1, misalnya H(t) = at + b.

-3t^3 + 14t^2 + (m+7)t + (n-6) = (-t^2 + 4t - 1)(at + b)

Mari kita ekspansi sisi kanan:
(-t^2 + 4t - 1)(at + b) = -at^3 - bt^2 + 4at^2 + 4bt - at - b
= -at^3 + (4a - b)t^2 + (4b - a)t - b

Sekarang samakan koefisien dari kedua sisi:

Koefisien t^3: -3 = -a  => a = 3

Koefisien t^2: 14 = 4a - b
14 = 4(3) - b
14 = 12 - b
b = 12 - 14
b = -2

Koefisien t: m + 7 = 4b - a
m + 7 = 4(-2) - 3
m + 7 = -8 - 3
m + 7 = -11
m = -11 - 7
m = -18

Konstanta: n - 6 = -b
n - 6 = -(-2)
n - 6 = 2
n = 2 + 6
n = 8

Jadi, nilai m = -18 dan n = 8.