Diketahui a dan b bilangan-bilangan positif dengan a+b=300.

100

Pembahasan

Kita diberikan dua bilangan positif a dan b dengan syarat a + b = 300. Kita ingin mencari nilai b agar a^2 * b mencapai nilai maksimum.

Dari syarat a + b = 300, kita bisa menyatakan a dalam bentuk b: a = 300 - b.

Sekarang kita substitusikan ekspresi a ini ke dalam fungsi yang ingin dimaksimalkan, yaitu a^2 * b:

F(b) = (300 - b)^2 * b
F(b) = (90000 - 600b + b^2) * b
F(b) = 90000b - 600b^2 + b^3

Untuk mencari nilai maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari F(b) terhadap b dan menyamakannya dengan nol:

F'(b) = d/db (90000b - 600b^2 + b^3)
F'(b) = 90000 - 1200b + 3b^2

Samakan turunan pertama dengan nol:
3b^2 - 1200b + 90000 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 3:
b^2 - 400b + 30000 = 0

Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(b - 100)(b - 300) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai b: b = 100 atau b = 300.

Untuk menentukan mana yang memberikan nilai maksimum, kita bisa menggunakan turunan kedua:
F''(b) = d/db (90000 - 1200b + 3b^2)
F''(b) = -1200 + 6b

Jika b = 100:
F''(100) = -1200 + 6(100) = -1200 + 600 = -600. Karena F''(100) < 0, ini menunjukkan titik balik maksimum.

Jika b = 300:
F''(300) = -1200 + 6(300) = -1200 + 1800 = 600. Karena F''(300) > 0, ini menunjukkan titik balik minimum.

Oleh karena itu, nilai a^2 * b akan mencapai maksimum ketika b = 100.

Ketika b = 100, maka a = 300 - 100 = 200. Nilai a^2 * b = 200^2 * 100 = 40000 * 100 = 4.000.000.

Jadi, nilai a^2 b akan mencapai maksimum untuk nilai b = 100.