Diketahui A dan B sudut tumpul. Jika sin A=1/2 akar(2) dan

Nilai $\sin(A+B)$ adalah $-\frac{7\sqrt{2}}{10}$.

Pembahasan

Diketahui A dan B adalah sudut tumpul. Sudut tumpul berada di kuadran II, di mana nilai sinus positif dan kosinus negatif.

Diketahui:
$\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\sin B = \frac{3}{5}$

Karena A dan B adalah sudut tumpul, maka $90^\circ < A < 180^\circ$ dan $90^\circ < B < 180^\circ$.

Untuk mencari nilai $\sin(A+B)$, kita gunakan rumus:
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

Kita perlu mencari nilai $\cos A$ dan $\cos B$.

Untuk sudut A:
Karena $\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{2}$ dan A di kuadran II, maka A = 135$^\circ$. $\cos 135^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$.
Atau menggunakan identitas $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:
$(\frac{1}{2}\sqrt{2})^2 + \cos^2 A = 1$
$rac{1}{4}(2) + \cos^2 A = 1$
$rac{1}{2} + \cos^2 A = 1$
$\cos^2 A = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\|\cos A\| = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Karena A sudut tumpul (kuadran II), $\cos A$ negatif, jadi $\cos A = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Untuk sudut B:
$\sin B = \frac{3}{5}$
$(\frac{3}{5})^2 + \cos^2 B = 1$
$rac{9}{25} + \cos^2 B = 1$
$\cos^2 B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$
$\|\cos B\| = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$
Karena B sudut tumpul (kuadran II), $\cos B$ negatif, jadi $\cos B = -\frac{4}{5}$.

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus $\sin(A+B)$:
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$\sin(A+B) = (\frac{1}{2}\sqrt{2})(-\frac{4}{5}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{3}{5})$
$\sin(A+B) = -\frac{4\sqrt{2}}{10} - \frac{3\sqrt{2}}{10}$
$\sin(A+B) = -\frac{7\sqrt{2}}{10}$

Jadi, nilai $\sin(A+B)$ adalah $-\frac{7\sqrt{2}}{10}$.