Diketahui ABCDEF merupakan segi enam beraturan berpusat di

Terbukti benar menggunakan vektor atau koordinat.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa AB + AF = 1/2 AD pada segi enam beraturan ABCDEF yang berpusat di O, kita dapat menggunakan vektor.
Misalkan O adalah titik pangkal. Maka vektor posisi dari titik-titik tersebut adalah OA, OB, OC, OD, OE, OF.
Karena ABCDEF adalah segi enam beraturan berpusat di O:
1. Vektor AB = OB - OA
2. Vektor AF = OF - OA
3. Vektor AD = OD - OA

Dalam segi enam beraturan, kita tahu bahwa:
- Vektor OB = -OE
- Vektor OC = -OF
- Vektor OD = -OA
- Vektor OE = -OB
- Vektor OF = -OC

Selain itu, panjang setiap sisi sama, dan sudut antar vektor dari pusat ke titik-titik sudut adalah 60 derajat.

Kita dapat menyatakan vektor sisi sebagai berikut:
AB = OB - OA
AF = OF - OA

Perhatikan bahwa vektor AD adalah diagonal terpanjang yang melalui pusat O. Jadi, AD = AO + OD. Karena O adalah pusat, AO = -OA dan OD = OA (dalam arah berlawanan tetapi sama panjangnya jika kita menganggap OA sebagai vektor dari O ke A). Lebih tepatnya, jika kita bergerak dari O ke D, kita melewati O. Jadi, vektor OD = -OA.

Namun, pendekatan yang lebih baik adalah dengan menggunakan sifat simetri segi enam.
Dalam segi enam beraturan, vektor AB berlawanan arah dengan vektor DE, dan vektor AF sama panjangnya dengan vektor BC. Juga, vektor AF adalah hasil rotasi vektor AB sebesar 60 derajat berlawanan arah jarum jam.

Mari kita gunakan pergeseran vektor:
AB = OB - OA
AF = OF - OA

Perhatikan bahwa OF adalah vektor yang sama dengan -OC. Dan OA adalah vektor yang sama dengan -OD.
Jadi, AD = OD - OA = (-OA) - OA = -2OA (Ini salah, karena OD = OA jika O adalah titik tengah segmen AD).

Koreksi:
Dalam segi enam beraturan ABCDEF berpusat di O, vektor OA, OB, ..., OF memiliki panjang yang sama (jari-jari lingkaran luar) dan sudut antar vektor yang berurutan adalah 60 derajat.

AD adalah diagonal yang melalui pusat. Jadi, vektor AD = vektor AO + vektor OD. Karena O adalah pusat, AO = -OA dan OD = OA (jika O adalah titik tengah AD). Ini juga membingungkan.

Mari kita gunakan definisi segi enam beraturan:
AB = OB - OA
AF = OF - OA

Kita tahu bahwa OD = -OA. Dan OA adalah vektor dari O ke A. AD adalah vektor dari A ke D.
AD = OD - OA.

Dalam segi enam beraturan, vektor OB = OA + AB. Vektor OC = OB + BC. Vektor OD = OC + CD. Vektor OE = OD + DE. Vektor OF = OE + EF.

Juga, vektor AB = vektor ED (vektornya sama, bukan hanya panjangnya). Vektor BC = vektor FE. Vektor CD = vektor AF.

Dan vektor OA, OB, OC, OD, OE, OF adalah vektor dari pusat ke titik sudut.
Karena segi enam beraturan:
OB = OA + AB
OC = OB + BC = OA + AB + BC
OD = OC + CD = OA + AB + BC + CD
OE = OD + DE = OA + AB + BC + CD + DE
OF = OE + EF = OA + AB + BC + CD + DE + EF

Juga, dari simetri:
AB = CD = EF
BC = DE = FA

Dan:
OB = -OE
OC = -OF
OD = -OA

Dengan demikian, AD = OD - OA = -OA - OA = -2OA. Ini salah.

AD adalah vektor dari A ke D. Kita bisa menulis AD = AO + OD. Karena O adalah pusat, AO = -OA. Dan OD = -OA. Jadi AD = -OA + (-OA) = -2OA. Ini masih salah.

Mari kita gunakan koordinat.
Misalkan O = (0,0).
Misalkan A = (r, 0).
B = (r cos(60), r sin(60)) = (r/2, r sqrt(3)/2)
C = (r cos(120), r sin(120)) = (-r/2, r sqrt(3)/2)
D = (r cos(180), r sin(180)) = (-r, 0)
E = (r cos(240), r sin(240)) = (-r/2, -r sqrt(3)/2)
F = (r cos(300), r sin(300)) = (r/2, -r sqrt(3)/2)

AB = B - A = (r/2 - r, r sqrt(3)/2 - 0) = (-r/2, r sqrt(3)/2)
AF = F - A = (r/2 - r, -r sqrt(3)/2 - 0) = (-r/2, -r sqrt(3)/2)
AD = D - A = (-r - r, 0 - 0) = (-2r, 0)

AB + AF = (-r/2 - r/2, r sqrt(3)/2 - r sqrt(3)/2) = (-r, 0)

Perhatikan bahwa 1/2 AD = 1/2 (-2r, 0) = (-r, 0).

Jadi, AB + AF = 1/2 AD terbukti benar.