Diketahui akar-akar persamaan polinom

5

Pembahasan

Diketahui persamaan polinom $x^4 - 8x^3 + 2ax^2 + (5b+3)x + 4c-3 = 0$. Akar-akarnya berurutan membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Misalkan akar-akarnya adalah $x_1, x_2, x_3, x_4$.

Karena membentuk barisan aritmetika dengan beda 2, kita dapat menuliskan akar-akarnya sebagai:
$x_1 = p - 3
$x_2 = p - 1
$x_3 = p + 1
$x_4 = p + 3$

Dari Vieta:
Jumlah akar-akar ($x_1+x_2+x_3+x_4$) = -(-8)/1 = 8
$(p-3) + (p-1) + (p+1) + (p+3) = 8$
$4p = 8$
$p = 2$

Maka akar-akarnya adalah:
$x_1 = 2 - 3 = -1$
$x_2 = 2 - 1 = 1
$x_3 = 2 + 1 = 3
$x_4 = 2 + 3 = 5$

Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan ($x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4$) = koefisien $x^2$ / koefisien $x^4$
Koefisien $x^2$ adalah $2a$. Jadi, jumlah hasil kali akar-akar = $2a/1 = 2a$.

Menghitung jumlah hasil kali akar-akar:
$(-1)(1) + (-1)(3) + (-1)(5) + (1)(3) + (1)(5) + (3)(5)$
$= -1 - 3 - 5 + 3 + 5 + 15$
$= 14$

Jadi, $2a = 14$, yang berarti $a = 7$.

Jumlah hasil kali akar tiga-tiga ($x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4$) = - (koefisien $x$) / koefisien $x^4$
Koefisien $x$ adalah $5b+3$. Jadi, jumlah hasil kali akar tiga-tiga = $-(5b+3)/1 = -(5b+3)$.

Menghitung jumlah hasil kali akar tiga-tiga:
$(-1)(1)(3) + (-1)(1)(5) + (-1)(3)(5) + (1)(3)(5)$
$= -3 - 5 - 15 + 15$
$= -8$

Jadi, $-(5b+3) = -8$
$5b+3 = 8$
$5b = 5$
$b = 1$

Hasil kali akar-akar ($x_1x_2x_3x_4$) = koefisien konstanta / koefisien $x^4$
Koefisien konstanta adalah $4c-3$. Jadi, hasil kali akar-akar = $(4c-3)/1 = 4c-3$.

Menghitung hasil kali akar-akar:
$(-1)(1)(3)(5) = -15$

Jadi, $4c-3 = -15$
$4c = -12$
$c = -3$

Nilai $a+b+c = 7 + 1 + (-3) = 5$.