Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 10mathTrigonometri

Diketahui alpha, betha, dan gamma merupakan sudut-sudut

Pertanyaan

Diketahui alpha, betha, dan gamma adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika sin alpha = 12/13 dan cos betha = -3/5, berapa nilai dari sin gamma?

Solusi

Verified

Nilai sin gamma adalah -16/65.

Pembahasan

Kita diberikan informasi tentang dua sudut dalam segitiga, alpha dan betha, serta nilai sinus dan kosinusnya. Diketahui: sin alpha = 12/13 cos betha = -3/5 Karena alpha, betha, dan gamma adalah sudut-sudut suatu segitiga, maka jumlah ketiga sudut tersebut adalah 180 derajat: alpha + betha + gamma = 180°. Ini berarti gamma = 180° - (alpha + betha). Kita perlu mencari sin gamma. Menggunakan identitas trigonometri: sin gamma = sin(180° - (alpha + betha)) sin gamma = sin(alpha + betha) Rumus untuk sin(alpha + betha) adalah: sin(alpha + betha) = sin alpha cos betha + cos alpha sin betha. Kita sudah punya sin alpha = 12/13 dan cos betha = -3/5. Kita perlu mencari cos alpha dan sin betha. Untuk cos alpha: Karena sin alpha = 12/13 (nilai positif), alpha bisa berada di kuadran I atau II. Namun, dalam konteks segitiga, sudut umumnya diasumsikan lancip (kuadran I) atau tumpul (kuadran II). Kita gunakan identitas sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1. (12/13)^2 + cos^2 alpha = 1 144/169 + cos^2 alpha = 1 cos^2 alpha = 1 - 144/169 cos^2 alpha = 25/169 cos alpha = ±5/13. Jika kita asumsikan alpha adalah sudut lancip, maka cos alpha = 5/13. Untuk sin betha: Kita tahu cos betha = -3/5 (nilai negatif). Ini berarti betha berada di kuadran II atau III. Dalam konteks segitiga, jika cos betha negatif, betha kemungkinan besar adalah sudut tumpul (antara 90° dan 180°). Kita gunakan identitas sin^2 betha + cos^2 betha = 1. sin^2 betha + (-3/5)^2 = 1 sin^2 betha + 9/25 = 1 sin^2 betha = 1 - 9/25 sin^2 betha = 16/25 sin betha = ±4/5. Karena betha kemungkinan tumpul, sinusnya positif, jadi sin betha = 4/5. Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus sin(alpha + betha): sin gamma = sin(alpha + betha) = sin alpha cos betha + cos alpha sin betha sin gamma = (12/13) * (-3/5) + (5/13) * (4/5) sin gamma = -36/65 + 20/65 sin gamma = -16/65. Namun, perlu diperhatikan bahwa jika cos alpha = -5/13 (jika alpha tumpul), maka: sin gamma = (-12/13) * (-3/5) + (-5/13) * (4/5) = 36/65 - 20/65 = 16/65. Karena alpha, betha, dan gamma adalah sudut segitiga, jumlahnya 180. Jika cos betha negatif, betha tumpul. Jika sin alpha positif, alpha bisa lancip atau tumpul. Namun, jika betha tumpul, maka alpha dan gamma harus lancip agar jumlahnya 180. Oleh karena itu, kita ambil cos alpha = 5/13. Jadi, nilai sin gamma adalah -16/65.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Aturan Segitiga, Identitas Trigonometri
Section: Jumlah Dan Selisih Sudut

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...