Diketahui (an) dan (bn) adalah dua barisan aritmetika

25

Pembahasan

Barisan aritmetika (an) memiliki a1 = 5 dan a2 = 8. Beda barisan (an) adalah d_a = a2 - a1 = 8 - 5 = 3. Rumus suku ke-n barisan (an) adalah a_n = a1 + (n-1)d_a = 5 + (n-1)3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2.
Barisan aritmetika (bn) memiliki b1 = 3 dan b2 = 7. Beda barisan (bn) adalah d_b = b2 - b1 = 7 - 3 = 4. Rumus suku ke-n barisan (bn) adalah b_n = b1 + (n-1)d_b = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1.

Kita mencari anggota A ∩ B, yaitu anggota yang sama pada kedua barisan hingga suku ke-100. Ini berarti kita mencari nilai k sedemikian rupa sehingga a_k = b_m untuk suatu m (dengan k, m ≤ 100).
3k + 2 = 4m - 1
3k + 3 = 4m
3(k + 1) = 4m
Karena 3 dan 4 koprima, maka k + 1 haruslah kelipatan 4, dan m haruslah kelipatan 3.
Misalkan k + 1 = 4p, maka k = 4p - 1. Substitusikan ke persamaan awal:
3(4p) = 4m
12p = 4m
m = 3p

Karena a_k = b_m, maka suku tersebut harus memenuhi kedua rumus.
Kita perlu mencari nilai suku yang sama yang muncul di kedua barisan hingga suku ke-100.
Substitusikan k = 4p - 1 dan m = 3p ke rumus suku:
a_{4p-1} = 3(4p - 1) + 2 = 12p - 3 + 2 = 12p - 1
b_{3p} = 4(3p) - 1 = 12p - 1

Jadi, suku-suku yang sama memiliki bentuk 12p - 1.
Kita perlu mencari nilai p sehingga suku tersebut muncul di kedua barisan hingga suku ke-100.
Untuk barisan (an), indeksnya adalah k = 4p - 1. Kita batasi k ≤ 100:
4p - 1 ≤ 100
4p ≤ 101
p ≤ 101/4
p ≤ 25.25
Jadi, p dapat bernilai dari 1 hingga 25.

Untuk barisan (bn), indeksnya adalah m = 3p. Kita batasi m ≤ 100:
3p ≤ 100
p ≤ 100/3
p ≤ 33.33
Jadi, p dapat bernilai dari 1 hingga 33.

Untuk mencari banyaknya anggota A ∩ B, p harus memenuhi kedua batasan tersebut. Nilai p yang memenuhi adalah p dari 1 sampai 25.
Jadi, banyaknya anggota A ∩ B adalah 25.