Diketahui cos 20= a. Nilai dari cos 70 cos 50 adalah...

Menggunakan identitas trigonometri cos A cos B = 1/2 [cos(A+B) + cos(A-B)] untuk mencari nilai cos 70° cos 50°.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari cos 70° cos 50°, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Diketahui cos 20° = a.

Kita tahu bahwa cos(90° - θ) = sin θ dan cos(60° + θ) = cos 60° cos θ - sin 60° sin θ.

Mari kita ubah sudut-sudut dalam pertanyaan agar berhubungan dengan sudut 20°:
cos 70° = cos(90° - 20°) = sin 20°
cos 50° = cos(20° + 30°) atau bisa juga cos 50° = cos(90° - 40°). Namun, menggunakan cos(90-θ) lebih langsung jika kita bisa mendapatkan sin 20°.

Kita juga bisa menggunakan identitas cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B.
cos 50° = cos(70° - 20°)? Tidak, ini akan menghasilkan cos 70° dan cos 20°.

Mari kita gunakan cos 70° dan cos 50°:
cos 70° = sin 20°
cos 50° = sin 40° = 2 sin 20° cos 20°

Jadi, cos 70° cos 50° = (sin 20°) * (2 sin 20° cos 20°)
= 2 sin² 20° cos 20°

Kita tahu cos 20° = a.
Kita perlu mencari sin 20° dari cos 20°. Menggunakan identitas sin² θ + cos² θ = 1:
sin² 20° = 1 - cos² 20° = 1 - a²
sin 20° = √(1 - a²)

Maka, cos 70° cos 50° = 2 * (1 - a²) * a
= 2a(1 - a²)

Namun, jika kita perhatikan cos 50°, kita bisa juga menuliskannya sebagai cos(60°-10°), yang tidak membantu. Atau cos 50° = cos(20°+30°).

Mari kita coba pendekatan lain:
cos 70° = sin 20°
cos 50° = cos(90° - 40°) = sin 40°

cos 70° cos 50° = sin 20° sin 40°

Menggunakan rumus perkalian ke penjumlahan:
sin A sin B = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]
sin 20° sin 40° = 1/2 [cos(20°-40°) - cos(20°+40°)]
= 1/2 [cos(-20°) - cos(60°)]
= 1/2 [cos 20° - cos 60°]

Kita tahu cos 20° = a dan cos 60° = 1/2.
Jadi, cos 70° cos 50° = 1/2 [a - 1/2]
= 1/2 a - 1/4
= (2a - 1) / 4

Mari kita cek apakah 2a(1 - a²) sama dengan (2a - 1) / 4.
Jika a = cos 20°, maka sin 20° = √(1-a²).
2 sin² 20° cos 20° = 2(1-a²)a = 2a - 2a³.

Sedangkan (2a - 1) / 4 tidak sama.

Mari kita kembali ke cos 50°:
cos 50° = cos(20° + 30°) = cos 20° cos 30° - sin 20° sin 30°
= a * (√3 / 2) - √(1 - a²) * (1 / 2)
= (a√3 - √(1 - a²)) / 2

Sekarang, cos 70° cos 50° = sin 20° * cos 50°
= √(1 - a²) * [(a√3 - √(1 - a²)) / 2]
= [a√3 √(1 - a²) - (1 - a²)] / 2

Ini juga terlihat rumit.

Mari gunakan identitas lain:
cos A cos B = 1/2 [cos(A+B) + cos(A-B)]
cos 70° cos 50° = 1/2 [cos(70°+50°) + cos(70°-50°)]
= 1/2 [cos 120° + cos 20°]

Kita tahu cos 120° = -1/2 dan cos 20° = a.
Jadi, cos 70° cos 50° = 1/2 [-1/2 + a]
= 1/2 [a - 1/2]
= (2a - 1) / 4

Jawaban yang benar adalah (2a - 1) / 4.