Tentukan koordinat titik belok dari fungsi-fungsi berikut.

Titik belok: (-2, 44/3) dan (-6, 36). Cekung ke atas: (-∞, -6) U (-2, ∞). Cekung ke bawah: (-6, -2).

Pembahasan

Untuk mencari titik belok dan interval kecekungan fungsi f(x) = 1/(12)x^4 + 4/3x^3 + 6x^2, kita perlu menggunakan turunan kedua.

Langkah 1: Cari turunan pertama (f'(x)).
f'(x) = d/dx [1/(12)x^4 + 4/3x^3 + 6x^2]
f'(x) = (4/12)x^3 + (3 * 4/3)x^2 + (2 * 6)x
f'(x) = 1/3x^3 + 4x^2 + 12x

Langkah 2: Cari turunan kedua (f''(x)).
f''(x) = d/dx [1/3x^3 + 4x^2 + 12x]
f''(x) = (3 * 1/3)x^2 + (2 * 4)x + 12
f''(x) = x^2 + 8x + 12

Langkah 3: Cari titik belok dengan menyetel f''(x) = 0.
x^2 + 8x + 12 = 0
Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
(x + 2)(x + 6) = 0
Maka, x = -2 atau x = -6.

Untuk mencari koordinat y pada titik-titik ini, substitusikan nilai x kembali ke fungsi asli f(x):
Untuk x = -2:
f(-2) = 1/(12)(-2)^4 + 4/3(-2)^3 + 6(-2)^2
f(-2) = 1/(12)(16) + 4/3(-8) + 6(4)
f(-2) = 16/12 - 32/3 + 24
f(-2) = 4/3 - 32/3 + 72/3
f(-2) = (4 - 32 + 72)/3
f(-2) = 44/3
Jadi, salah satu titik belok adalah (-2, 44/3).

Untuk x = -6:
f(-6) = 1/(12)(-6)^4 + 4/3(-6)^3 + 6(-6)^2
f(-6) = 1/(12)(1296) + 4/3(-216) + 6(36)
f(-6) = 108 - 288 + 216
f(-6) = 36
Jadi, titik belok lainnya adalah (-6, 36).

Langkah 4: Tentukan interval kecekungan.
Kita gunakan nilai x = -2 dan x = -6 untuk membagi garis bilangan menjadi tiga interval: (-∞, -6), (-6, -2), dan (-2, ∞).
Uji nilai dari setiap interval ke dalam f''(x) = x^2 + 8x + 12:

Interval (-∞, -6): Pilih x = -7
f''(-7) = (-7)^2 + 8(-7) + 12 = 49 - 56 + 12 = 5 > 0. Fungsi cekung ke atas.

Interval (-6, -2): Pilih x = -3
f''(-3) = (-3)^2 + 8(-3) + 12 = 9 - 24 + 12 = -3 < 0. Fungsi cekung ke bawah.

Interval (-2, ∞): Pilih x = 0
f''(0) = (0)^2 + 8(0) + 12 = 12 > 0. Fungsi cekung ke atas.

Kesimpulan:
Koordinat titik belok adalah (-2, 44/3) dan (-6, 36).
Interval fungsi cekung ke atas adalah (-∞, -6) U (-2, ∞).
Interval fungsi cekung ke bawah adalah (-6, -2).