Diketahui deret geometri dengan rumus suku ke- n adalah

Deret geometri ini tidak akan pernah konvergen karena rasionya adalah 2, yang lebih besar dari 1.

Pembahasan

Deret geometri tak hingga konvergen jika dan hanya jika rasio (r) dari deret tersebut memenuhi kondisi |r| < 1. Rumus suku ke-n dari deret geometri yang diberikan adalah Un = 2^n * (x - 1).

Untuk menentukan rasio (r), kita bisa membandingkan suku ke-(n+1) dengan suku ke-n:
r = U(n+1) / Un
r = [2^(n+1) * (x - 1)] / [2^n * (x - 1)]

Jika (x - 1) tidak sama dengan nol, kita bisa menyederhanakannya:
r = 2^(n+1) / 2^n
r = 2^((n+1) - n)
r = 2^1
r = 2

Dalam kasus ini, rasio (r) adalah 2. Agar deret geometri konvergen, nilai mutlak rasio harus kurang dari 1 (|r| < 1). Namun, di sini kita mendapatkan r = 2, yang berarti |r| = |2| = 2. Karena 2 tidak kurang dari 1, deret geometri ini TIDAK AKAN pernah konvergen, terlepas dari nilai x, selama (x-1) tidak nol.

Mari kita periksa kembali interpretasi rumus suku ke-n. Kadang-kadang rumus suku ke-n ditulis sebagai Un = a * r^(n-1), di mana 'a' adalah suku pertama dan 'r' adalah rasio. 

Jika rumus Un = 2^n * (x - 1) adalah suku ke-n, maka:
Suku pertama (U1) = 2^1 * (x - 1) = 2(x - 1)
Suku kedua (U2) = 2^2 * (x - 1) = 4(x - 1)
Suku ketiga (U3) = 2^3 * (x - 1) = 8(x - 1)

Rasio (r) = U2 / U1 = [4(x - 1)] / [2(x - 1)] = 4/2 = 2.
Atau r = U3 / U2 = [8(x - 1)] / [4(x - 1)] = 8/4 = 2.

Jadi, rasio deret ini adalah r = 2. 

Syarat konvergensi deret geometri tak hingga adalah |r| < 1.
Dalam kasus ini, |r| = |2| = 2.
Karena 2 tidak kurang dari 1, maka deret ini tidak akan pernah konvergen untuk nilai x berapapun, selama suku pertama tidak nol (yaitu, x ≠ 1).

Jika x = 1, maka Un = 2^n * (1 - 1) = 2^n * 0 = 0 untuk semua n. Ini adalah deret 0 + 0 + 0 + ..., yang konvergen ke 0. Namun, ini adalah kasus trivial dan biasanya kita mengasumsikan suku pertama tidak nol saat membahas konvergensi deret geometri.